Algoritmo húngaro
El algoritmo Húngaro es un algoritmo de optimización el cual resuelve problemas de asignación en tiempo . La primera versión conocida del método Húngaro, fue inventado y publicado por Harold W. Kuhn en 1955. Este fue revisado por James Munkres en 1957, y ha sido conocido desde entonces como el algoritmo Húngaro, el algoritmo de la asignación de Munkres, o el algoritmo de Kuhn-Munkres.
El algoritmo desarrollado por Kuhn está basado fundamentalmente en los primeros trabajos de otros dos matemáticos Húngaros: Dénes Kőnig y Jenő Egerváry. La gran ventaja del método de Kuhn es que es fuertemente polinómico (ver Complejidad computacional para más detalles).
El algoritmo húngaro construye una solución del problema primal partiendo de una solución no admisible (que corresponde a una solución admisible del dual) haciéndola poco a poco más admisible.
El algoritmo modela un problema de asignación como una matriz de costes n×m, donde cada elemento representa el coste de asignar el enésimo trabajador al emésimo trabajo. Por defecto, el algoritmo realiza la minimización de los elementos de la matriz; de ahí que en caso de ser un problema de minimización de costes, es suficiente con comenzar la eliminación de Gauss-Jordan para hacer ceros (al menos un cero por línea y por columna). Sin embargo, en caso de un problema de maximización del beneficio, el coste de la matriz necesita ser modificado para que la minimización de sus elementos lleve a una maximización de los valores de coste originales. En un problema de costes infinito, el coste inicial de la matriz puede ser remodelado restando a cada elemento de cada línea el valor máximo del elemento de esa línea (o análogamente columna ). En un problema de coste infinito, todos los elementos son restados por el valor máximo de la matriz entera. En la matriz se tiene que realizar un conjunto de operaciones que nos permitirán conocer con mejor eficacia el resultado final de la problemática planteada.
En un cierto punto del algoritmo tenemos el grafo y la matriz .
Enunciado del problema: En una empresa existen N tareas a realizar y N personas que pueden realizarlas. Tenemos una matriz N×N que contiene el coste de asignar a cada trabajador en cada tarea, en el presente caso, se supone que existen cuatro operarios (a, b, c y d) y cuatro tareas a realizar (1,2,3 y 4). El problema estriba en encontrar que tarea debemos asignar a cada trabajador para que el coste total sea mínimo. En primer lugar debemos partir de una matriz como la siguiente:
Donde a, b, c y d son los trabajadores que deben ejecutar las distintas tareas 1, 2, 3 y 4. En la matriz a1 representa el coste en que se incurre si el trabajador A, desarrolla la tarea 1, a2, a3, a4 muestra el coste en que se incurre cuando el trabajador A ejecuta las tareas 2, 3, 4 respectivamente. De la misma forma sucede para el resto de los trabajadores. La matriz es cuadrada de manera que cada trabajador puede ejecutar solo una tarea.
Se comienza a operar con la matriz.
Esto se muestra en la siguiente matriz, donde los ceros son las tareas asignadas:
En algunos casos puede resultar que la matriz anterior no puede ser utilizada para asignar.
Efectivamente en el caso de la matriz anterior no se puede realizar una asignación completa, la tarea 1 es realizada de manera eficiente por los empleados A y C (Existen dos ceros en la columna 1). Ambos no pueden ser asignados a la misma tarea, también debemos advertir que nadie puede realizar la tarea 3 de manera eficiente. Para superar esto, debemos repetir el procedimiento anterior de restar el menor, para todas las columnas y entonces comprobamos si es posible la asignación.
En la mayoría de los casos esto nos dará el resultado, pero si todavía no es posible la asignación, entonces se debe seguir el siguiente procedimiento:
Una vez realizado todo esto se trazan líneas (casillas color gris) sobre todas las columnas marcadas y todas las filas sin marcar.
De los elementos que están sin tachar (en blanco), se busca el valor más bajo, se resta este de todos los elementos que no están señalados o tachados y se le suma a los elementos que se encuentran en la intersección de dos líneas. Los demás elementos se dejan sin cambiar. Ahora se asigna las tareas usando las reglas de arriba. Repite el procedimiento hasta que sea posible la asignación. Básicamente se encuentra el segundo coste mínimo entre dos filas. El procedimiento es repetido hasta que seas capaz de distinguir entre los trabajadores en términos de menor coste.