Axioma de regularidad

En teoría de conjuntos, el axioma de regularidad o axioma de fundación es un axioma que postula que ciertos conjuntos «patológicos», como por ejemplo un conjunto que se contenga a sí mismo como elemento, no pueden existir. Fue propuesto por Von Neumann y Zermelo entre 1925 y 1930.^[1]​

La manera en la que se enuncia el axioma de regularidad es asegurando que cada conjunto posee un elemento que es disjunto con él:

Axioma de regularidad

${displaystyle forall A eq varnothing ,,,exists Bin A:Acap B=varnothing }$

Una manera equivalente de enunciar el axioma de regularidad es afirmando que todos los conjuntos son regulares, es decir, que la relación de pertenencia ∈ vista como un orden parcial tiene un elemento mínimo en todos los conjuntos. En particular, esto prohíbe la existencia de una sucesión infinita de conjuntos de la forma x₁ ∋ x₂ ∋ x₃ ∋ ... De este modo, es sencillo entender que el axioma de regularidad prohíbe la existencia de conjuntos «patológicos» —no regulares— como por ejemplo:

Una de las consecuencias más importantes del axioma de regularidad es la clasificación de todos los conjuntos por «etapas», construidas a partir del conjunto vacío mediante la reiterada aplicación de la potenciación de conjuntos. Se define para cada ordinal, según sea 0, un ordinal sucesor o un ordinal límite:

${displaystyle R_{0}=varnothing { ext{ , }}R_{alpha +1}={mathcal {P}}(R_{alpha }){ ext{ , }}R_{lambda }=igcup _{alpha <lambda }R_{alpha }{ ext{ ,}}}$

Se tiene entonces el siguiente teorema:

Todo conjunto regular está en algún R_α.

Por esto, el axioma de regularidad se denota usualmente como «V = R», es decir, la clase universal (de la totalidad de conjuntos) y la clase R de los conjuntos regulares (la unión de todos los R_α) son idénticas. Puede clasificarse entonces cada conjunto regular en algún R_α:

El rango de un conjunto regular x es el mínimo ordinal α tal que x ∈ R_α+1.

El axioma de regularidad (V = R) es totalmente independiente del resto de axiomas de ZF y NBG. La clase R de los conjuntos regulares es un modelo del resto de axiomas de ZF, luego de estos no puede probarse la existencia de un conjunto no regular, y asumir V = R es consistente. De modo similar, puede construirse un modelo del resto de ZF en el que aparezcan conjuntos del tipo , luego es imposible probar la regularidad de todos los conjuntos, y asumir V ≠ R también es consistente.

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