Banda de Möbius

La cinta o banda de Möbius o Moebius (/ˈmøːbjʊs/) es una superficie con una sola cara y un solo borde. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858. Aunque sus primeras representaciones pueden verse en el Mosaico romano de comienzos del siglo III hallado en una villa de Sentinum. Gliptoteca de Múnich (Inv. W504), donde se representa al Dios Aion dentro de una Banda de Möbius circular.^[1]​

Para construir una cinta de Möbius, se toma una tira de papel, se da media vuelta a uno de sus extremos y se pegan.

La banda de Moebius posee las siguientes propiedades:

Esta forma geométrica se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología.

Una forma de representar la banda de Möbius (cerrada y con frontera) como un subconjunto de ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{3}}$ es mediante la parametrización:

${displaystyle {egin{cases}x(u,v)=left[1+{cfrac {v}{2}}cos {cfrac {u}{2}} ight]cos(u)\y(u,v)=left[1+{cfrac {v}{2}}cos {cfrac {u}{2}} ight]sin(u)\z(u,v)={cfrac {v}{2}}sin {cfrac {u}{2}}end{cases}}}$

donde ${displaystyle scriptstyle 0leq u<2pi }$ y ${displaystyle scriptstyle -0.5leq vleq 0.5}$.

Representa una banda doble de Möbius de ancho unitario, cuya circunferencia exterior tiene radio unitario y se encuentra en el plano coordenado x-y centrada en ${displaystyle scriptstyle (0,0,0),}$. El parámetro u recorre la banda longitudinalmente, mientras v se desplaza de un punto a otro del borde, cruzando transversalmente la circunferencia central.

Con la parametrización anterior podemos obtener su curvatura gaussiana la cual es:

${displaystyle scriptstyle -{cfrac {64}{16v^{4}cos(u/2)^{4}+128v^{3}cos(u/2)^{3}+384v^{2}cos(u/2)^{2}+8v^{4}cos(u/2)^{2}+512vcos(u/2)+32v^{3}cos(u/2)+256+32v^{2}+v^{4}}}}$

En coordenadas cilíndricas ${displaystyle scriptstyle (r, heta ,z)}$, se puede representar una versión sin frontera (abierta) de la banda de Möbius mediante la ecuación:

${displaystyle log(r)sin left({frac { heta }{2}} ight)=zcos left({frac { heta }{2}} ight)}$

Topológicamente, la banda de Möbius puede definirse como el cuadrado ${displaystyle scriptstyle [0,1] imes [0,1]}$ que tiene sus aristas superior e inferior identificadas (topología cociente) por la relación ${displaystyle scriptstyle (x,0),}$ ${displaystyle sim ,}$ ${displaystyle scriptstyle (1-x,1),}$ para ${displaystyle scriptstyle 0leq xleq 1}$, como en el diagrama que se muestra en la figura de la derecha.

La banda de Möbius es una variedad bidimensional (es decir, una superficie). Es un ejemplo estándar de una superficie no orientable. La banda de Möbius es un ejemplo elemental -también- para ilustrar el concepto matemático de fibrado topológico.

Como objeto topológico, la banda de Möbius también es considerada como el espacio total ${displaystyle scriptstyle Mo,}$ de un fibrado no trivial teniendo como base el círculo ${displaystyle scriptstyle S^{1}}$ y fibra un intervalo, i.e.

El contraste con el fibrado trivial ${displaystyle scriptstyle Isubset S^{1} imes I o S^{1}}$ es agradable pues se sabe que solo hay dos de estos fibrados E

Es decir, ${displaystyle scriptstyle S^{1} imes I}$ y ${displaystyle scriptstyle Mo,}$ son todos los I-fibrados sobre la circunferencia.

Análoga a la banda de Möbius es la botella de Klein, pues también tiene solo una cara, donde no se puede diferenciar «fuera» de «dentro». Esto último significa que mientras la banda se encaja (embedding) en ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$, la botella no.

El artista M. C. Escher utilizó la banda de Möbius como motivo principal en diversas obras.^[3]​

El artista Josep Canals Miquel ha dedicado los últimos 25 años su obra escultórica al estudio de las diferentes formas de la cinta de Moedius. ^[4]​

El artista de cómics Jean Giraud usa el seudónimo de Moebius desde inicios de los 80 en su obra más experimental, ligada al género de la ciencia ficción.

El artista Salvador Dalí usa un diseño de la cinta de Möbius para las manillas de llave de la tina de baño de Gala, en el Castell Gala Dalí de Púbol.

El libro de cuentos Queremos tanto a Glenda, del escritor argentino Julio Cortázar, publicado en 1980, cuenta con una composición titulada Anillo de Moebius.^[5]​

El 17 de octubre de 1996, se estrenó la película Moebius,^[6]​^[7]​ realizada en Argentina. Dicha película hace referencia a la teoría de la cinta que lleva el mismo nombre, aplicada a una supuesta red de subterráneos de la Ciudad de Buenos Aires ampliada. Se basa en un cuento de A. J. Deutsch, A Subway Named Moebius (1950).

El estudio de arquitectura neerlandés UNSTUDIO realizó un edificio basado en la cinta de Möbius ^[8]​

Mario Levrero tituló un cuento «La Cinta de Moebius», y el recorrido del relato tiene las características de la banda.

La banda argentina Catupecu Machu lanzó en 2009 un álbum titulado Simetría de Moebius en alusión a la banda. Además tiene una canción con el mismo título en el álbum.

El grupo surcoreano de k-pop LOOΠΔ utiliza la banda de Möbius para explicar la forma del universo que compone su universo.

El símbolo gráfico internacional de reciclaje y los de otras actividades similares, están basados en la imagen de la banda de Möbius.

Ignacio Rodríguez Srabonián aborda el proyecto Moebius como símbolo de la formación de viviendas no planificadas en la ciudad. Donde los límites de la ciudad no son precisos y todo se ve como un continuo.

Los partidos humanistas afiliados a la Internacional Humanista utilizan como logotipo un símbolo gráfico basado en la banda de Möbius.^[9]​

El símbolo gráfico internacional de reciclaje

Logo de los partidos humanistas

También se le hace referencia en la película de Marvel Los Vengadores: End game, donde Tony Stark usa la cinta para resolver el dilema de los viajes en el tiempo.