Base dual

En álgebra lineal, una base dual o base biortogonal es un conjunto de vectores que forman una base para el espacio dual de un espacio vectorial. Para un espacio vectorial V de dimensiones finitas, el espacio dual V* es isomorfo a V y para cualquier conjunto dado de vectores base {e₁, …, e_n} de V, hay asociada una base dual {e¹,...,eⁿ} de V* con la relación

Concretamente, podemos escribir vectores en un espacio vectorial V de n dimensiones como una matriz de columna de n × 1 dimensiones y los elementos del espacio dual V* como matrices de fila de 1 × n que actúan como funcionales lineales por medio de la multiplicación matricial a la izquierda.

También se usa la delta de Kronecker como nomenclatura para la definición anterior como sigue

Y en muchos textos de álgebra lineal también es común representar el producto punto o interno de dos vectores únicamente encerrando en un paréntesis el segundo vector como sigue

Así como asumir que son vectores sin usar negritas, debido ya sea a que están en un producto punto o a que no tienen subíndices o superíndices como sigue:

Para el caso de un espacio tridimensional, teniendo una base dada e, se puede encontrar la base biortogonal (dual) por medio de estas fórmulas:

Cuyo uso se aclara mejor con el siguiente ejemplo.

Encontrar la base dual para un espacio en R³ cuyas bases están dadas por:

Calculamos la base dual para su espacio dual

${displaystyle {{mathbf {e} }^{*3}}={frac {left|left[{egin{matrix}5&-3&{{x}_{1}}\-2&-1&{{x}_{2}}\6&-4&{{x}_{3}}\end{matrix}} ight] ight|}{left|left[{egin{matrix}5&-3&9\-2&-1&-5\6&-4&7\end{matrix}} ight] ight|}}={frac {14}{39}}{{x}_{1}}+{frac {2}{39}}{{x}_{2}}+{frac {-11}{39}}{{x}_{3}}=left({frac {14}{39}}{ ext{, }}{frac {2}{39}}{ ext{, }}{frac {-11}{39}} ight)}$

para comprobar que nuestro resultado está bien, usamos la condición

que es equivalente en este caso a

al sustituir se obtiene

lo cual demuestra que nuestro procedimiento es correcto

Cada vector v de un espacio vectorial V puede ser expresado únicamente como una combinación lineal de los elementos de la base

El resultado de aplicar e^*i en v es el siguiente:

Y por eso e^*i es la transformación lineal (proyección) que "extrae" de un vector v la componente ${displaystyle v^{i}}$ de su vector de coordenadas respecto a la base.

Hagamos que F sea un elemento genérico de V^*, es decir una transformación lineal F desde el espacio vectorial V al K. Aplicado a un vector

Produce la relación:

Como se muestra en la fórmula anterior la trasformación F solo actúa sobre los elementos de la base de V. Por otra parte F transforma un vector en un elemento del espacio K, por lo que F es definido como n "números":

En consecuencia, F es obtenida de una combinación lineal de:

En efecto esa es la relación:

Cada transformación lineal F en V^* puede ser expresada únicamente como una combinación lineal de la transformación eⁱ y por eso: