Base ortonormal

En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.

Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria.

Estos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensión finita como de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de span denso es la misma que la de 'span', como se usa en álgebra lineal.

Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal de un número finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el generado de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero.

Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno. Un Espacio de Banach no tendrá una base ortonormal a no ser que sea un espacio de Hilbert.

Sea ${displaystyle left(V,leftlangle cdot ,cdot ight angle ight)}$ un espacio prehilbertiano de dimensión finita n.

Los n vectores v₁, v₂, ...,v_n en V se llaman ortogonales y normales, denominados ortonormales para abreviar, cuando satisfacen las dos condiciones siguientes.

Un conjunto de vectores ortonormales que engendran V constituyen una base para V, la cual es llamada base ortonormal.^[1]​

${displaystyle left{{egin{array}{rcl}e_{1}&=&(1,0,0)\e_{2}&=&(0,1,0)\e_{3}&=&(0,0,1)end{array}} ight.}$

es decir la base canónica forma una base ortonormal de ${displaystyle mathbb {R^{3}} }$.

y que

siendo ${displaystyle scriptstyle |x|={sqrt {leftlangle x,x ight angle }}}$ la norma inducida por el producto interno.

Así, {e₁, e₂, e₃} es un conjunto ortonormal. Para un (x,y,z) cualquiera en R³ tenemos

También puede demostrarse que la base estándar, rotada alrededor de un eje que pasa por el origen, o reflejada en un plano que pasa por el origen, forma también una base ortonormal de R³.

El conjunto {f_n : n ∈ N} con

${displaystyle {egin{array}{rl}f_{n}:&mathbb {R} longrightarrow mathbb {R} ,\f_{n}(x)=&cos left{left[{frac {2n-1+(-1)^{n}}{4}} ight]2pi x-left[1+(-1)^{n} ight]{frac {pi }{4}} ight}end{array}}}$

es decir, la sucesión infinita de funciones

forma una base ortogonal del espacio de funciones reales cuadrado integrables en el intervalo [0, 1].

Sea a_n : N → {1/2, 1} la sucesión definida por

entonces el conjunto G = {g_n : n ∈ N}, con

${displaystyle {egin{array}{rl}g_{n}:&mathbb {R} longrightarrow mathbb {R} ,\g_{n}(x)=&a_{n}f_{n}(x)end{array}}}$

forma una base ortonormal de dicho espacio.

${displaystyle {egin{array}{rl}f_{n}:&mathbb {R} longrightarrow mathbb {C} ,\f_{n}(x)=&e^{2pi inx}end{array}}}$

forma una base ortogonal del espacio complejo L²([0,1]). Este es un resultado fundamental para el estudio de series de Fourier.

${displaystyle e_{b}(c)={egin{cases}1&{ extrm {si}} b=c\0&{ extrm {si}} b eq cend{cases}}}$

forma una base ortonormal de l²(B).

Si un espacio prehilbertiano ${displaystyle left(V,leftlangle cdot ,cdot ight angle ight)}$ posee una base ortonormal ${displaystyle E=left{e_{1},e_{2},dots ,e_{n} ight}}$ finita, cada vector x en V puede expresarse de la siguiente manera:

${displaystyle mathbf {x} =sum _{i=1}^{n}leftlangle x,e_{i} ight angle e_{i}}$

${displaystyle mathbf {x} =sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}.}$

Se escoge un vector e_j del conjunto E para calcular el producto interno entre este vector y x:

${displaystyle leftlangle mathbf {x} ,e_{j} ight angle =leftlangle sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i},e_{j} ight angle .}$

La definición del producto interno permite «extraer» las combinaciones lineales, con lo cual

${displaystyle leftlangle mathbf {x} ,e_{j} ight angle =sum _{i=1}^{n}x_{i}leftlangle e_{i},e_{j} ight angle }$

pero como la base es ortonormal

${displaystyle leftlangle e_{i},e_{j} ight angle ={egin{cases}1&{ extrm {si}} i=j\0&{ extrm {si}} i eq jend{cases}}}$

En términos no tan formales, la expresión describe el hecho de que las coordenadas de un vector en un sistema de coordenadas ortogonal consisten en la magnitud de la proyección del vector sobre cada uno de los ejes que componen al sistema.

Para espacios de dimensión finita, conocido es el teorema que reza lo siguiente.

Todo espacio euclídeo admite una base ortonormal.^[2]​

Sea ${displaystyle left(V,leftlangle cdot ,cdot ight angle ight)}$ un espacio de este tipo, y sea n su dimensión. Selecciónese una base

cuya existencia está asegurada por el lema de Zorn. Los vectores de la base no son, necesariamente, unitarios ni ortogonales entre sí. Para poder construir una base ortonormal a partir de la base dada, puede utilizarse el proceso de Gram-Schmidt.

Dicho proceso consiste básicamente en

Por comodidad de cálculo, suelen emplearse las designaciones siguientes.

El proceso de ortogonalización provee la base {u₁, u₂, ... , u_n} compuesta por n vectores ortogonales entre sí. Basta entonces elegir el conjunto {e₁, e₂, ... , e_n} compuesto por los vectores unitarios definidos por

para obtener la tesis del teorema.

---