Círculo mágico (matemáticas)

Los círculos mágicos fueron inventados por el matemático chino Yang Hui de la Dinastía Song (960-1279) en el siglo XIII. Consisten en una serie de números naturales colocados en círculos, según el caso en disposiciones concéntricas o cuadradas, donde la suma de los números de cada diámetro y de cada círculo (o cada lado y diagonal en formaciones cuadradas), incluido el centro si lo hay, es idéntica.

Los círculos mágicos de Yang Hui fueron publicados en su estudio Xugu Zhaiqi Suanfa《續古摘奇算法》(continuación de su “Extracto de maravillas matemáticas”) de 1275. En él se incluyen diversas series de círculos mágicos concéntricos y no-concéntricos con disposiciones en cuadrado.

En este caso el círculo mágico está compuesto de cuatro anillos concéntricos de 8 números cada uno y el centro lo ocupa el valor 9, haciendo un total de 33 números. Este círculo mágico tiene las siguientes propiedades:

${displaystyle 20+16+23+10+9+2+29+32+6=147}$

${displaystyle 33+1+13+22+9+18+26+17+8=147}$

${displaystyle 12+31+19+7+9+25+11+5+28=147}$

${displaystyle 4+21+14+30+9+24+3+15+27=147}$

${displaystyle 20+33+12+4+6+8+28+27+9=147}$

${displaystyle 16+1+31+21+32+17+5+15+9=147}$

${displaystyle 23+13+19+14+29+26+11+3+9=147}$

${displaystyle 10+22+7+30+2+18+25+24+9=147}$

${displaystyle 20+16+23+10=69}$

${displaystyle 2+29+32+6=69}$

En este caso se disponen 64 números en 8 círculos de 8 números cada uno, agrupados en forma de cuadrado y dejando el centro libre. En consecuencia, cada lado del cuadrado está conformado por 3 círculos.

La suma mágica de cada círculo es 260, por lo que la suma total es 260 x 8 = 2080.

Empezando por la esquina superior izquierda y avanzando en el sentido de las agujas del reloj las sumas de los círculos mágicos son:

${displaystyle 40+24+9+56+41+25+8+57=260}$

${displaystyle 14+51+46+30+3+62+35+19=260}$

${displaystyle 45+29+4+61+36+20+13+52=260}$

${displaystyle 37+21+12+53+44+28+5+60=260}$

${displaystyle 47+31+2+63+34+18+15+50=260}$

${displaystyle 7+58+39+23+10+55+42+26=260}$

${displaystyle 38+22+11+54+43+27+6+59=260}$

${displaystyle 48+32+1+64+33+17+16+49=260}$

Además, la suma de los 8 números que se sitúan en cada uno de los dos ejes principales del cuadrado (izquierda-derecha, arriba-abajo) también cumple la suma mágica:

${displaystyle 14+51+62+3+7+58+55+10=260}$

${displaystyle 49+16+1+64+60+5+12+53=260}$

La suma de los 16 números que se sitúan en las dos diagonales del cuadrado es 2 veces 260: ${displaystyle 40+57+41+56+50+47+34+63+29+4+13+20+22+11+6+27=2*260=520}$

En este caso se disponen 9 círculos de 8 números cada uno formando un cuadrado. Al ocuparse el centro con un círculo se crean 4 círculos mágicos adicionales alrededor del centro también de 8 números. De esta forma el cuadrado en realidad contiene 13 círculos mágicos.

Las propiedades de esta disposición son las siguientes: