Centro de masa

El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se abrevia como c.m. o ${displaystyle G}$.

En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde, a efectos inerciales, se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los que no es indispensable considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas.

En física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio. Así tendremos que:

Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas puntuales, el centro de masas se puede calcular como:

${displaystyle mathbf {r} _{ ext{cm}}={frac {sum _{i}m_{i}mathbf {r} _{i}}{sum _{i}m_{i}}}={frac {1}{M}}sum _{i}m_{i}mathbf {r} _{i}}$

Un poco más explícito si A₁,... A_n son n puntos, y m₁,... m_n n números (m como masa). Entonces el centro de masa de los (A_i, m_i) es el punto G definido como sigue:

${displaystyle {overrightarrow {OG,}}={frac {sum {m_{i}{overrightarrow {O!A_{i}}}}}{sum {m_{i}}}}={frac {m_{1}{overrightarrow {O!A_{1}}}+...+m_{n}{overrightarrow {O!A_{n}}}}{m_{1}+...+m_{n}}},quad {mbox{con}}quad sum {m_{i}} eq 0}$

Esta definición no depende del punto O, que puede ser cualquiera. Si se toma el origen del plano o del espacio, se obtienen las coordenadas del baricentro como promedio ponderado por los m_i de las coordenadas de los puntos A_i:

${displaystyle mathbf {r} _{ ext{cm}}=mathbf {r} _{G}={frac {sum {m_{i}mathbf {r} _{i}}}{sum {m_{i}}}}={frac {m_{1}mathbf {r} _{1}+dots +m_{n}mathbf {r} _{n}}{m_{1}+dots +m_{n}}}}$

La definición anterior equivale a la fórmula siguiente, más práctica para el cálculo vectorial, pues prescinde de las fracciones (se obtiene tomando O = G):

${displaystyle sum _{i=1}^{n}{m_{i}{overrightarrow {G!A_{i}}}}={vec {0}}quad {mbox{o bien}}quad m_{1}{overrightarrow {G!A_{1}}}+...+m_{n}{overrightarrow {G!A_{n}}}={vec {0}}}$

En el caso de un sistema de cuerpos cuasipuntuales, o cuerpos que distan entre sí mucho más que las dimensiones de cada uno de los cuerpos, el cálculo anterior resulta bastante aproximado.

Para sistemas de masas continuos o distribuciones continuas de materia debemos recurrir al cálculo infinitesimal e integral, de modo que la expresión anterior se escribe en la forma:

${displaystyle mathbf {r} _{ ext{cm}}={frac {int mathbf {r} dm}{int dm}}={frac {1}{M}}int mathbf {r} dm}$

${displaystyle mathbf {r} _{ ext{cm}}={frac { ho int _{V}mathbf {r} dV}{ ho int dV}}={frac {int _{V}mathbf {r} dV}{V}}}$

siendo V el volumen total.

Para cuerpos bidimensionales (superficies) o monodimensionales (líneas) se trabajará con densidades superficiales y longitudinales respectivamente.

Para el caso de cuerpos con densidad uniforme, el centro de masas coincidirá con el centroide del cuerpo.

${displaystyle mathbf {r} _{ ext{cm}}={frac {int _{V}mathbf {r} ho (mathbf {r} ) dV}{M}}}$

Para el cálculo de centros de masas, superficies y volúmenes de sólidos de revolución resulta muy útil el teorema de Pappus-Guldin.