Circunferencia hiperbólica

En geometría hiperbólica, una circunferencia hiperbólica, hiperciclo, hipercírculo o curva equidistante hiperbólica es una curva cuyos puntos tienen la misma distancia ortogonal desde una recta determinada (su eje).

Dada una línea recta L y un punto P externo a L, se puede construir un hiperciclo tomando todos los puntos Q en el mismo lado de L que P, con una distancia perpendicular a L igual a la de P.

La línea L se denomina eje, centro o línea base del hiperciclo.

Las líneas perpendiculares al eje, que también es perpendicular al hiperciclo se llaman normales del hiperciclo.

Los segmentos de la normal entre el eje y el hiperciclo se llaman radios.

Su longitud común se llama distancia o radio del hyperciclo.^[1]​

Los hiperciclos a través de un punto dado que comparten una tangente a través de ese punto convergen hacia un horociclo a medida que sus distancias tienden hacia el infinito.

Los hiperciclos en geometría hiperbólica tienen algunas propiedades similares a las de las líneas rectas en la geometría euclidiana:

Los hiperciclos en geometría hiperbólica tienen algunas propiedades similares a las de las circunferencias en la geometría euclidiana:

En el plano hiperbólico de curvatura de Gauss constante -1, la longitud de un arco de un hiperciclo se puede calcular a partir del radio r y la distancia entre los puntos donde las normales se intersecan con el eje d usando la fórmula l = d cosh r.^[2]​

En el disco de Poincaré del plano hiperbólico, los hiperciclos están representados por líneas y arcos circulares que se cruzan con el círculo límite en ángulos no rectos. La representación del eje interseca el círculo límite en los mismos puntos, pero en ángulo recto.

En el modelo del semiplano de Poincaré del plano hiperbólico, los hiperciclos están representados por líneas y arcos circulares que se cruzan con la línea límite en ángulos no rectos. La representación del eje interseca la línea límite en los mismos puntos, pero en ángulo recto.