Clausura de Kleene

En lógica matemática y en ciencias de la computación, la clausura de Kleene (también llamada estrella de Kleene o cierre estrella) es una operación unaria que se aplica sobre un conjunto de cadenas de caracteres o un conjunto de símbolos o caracteres (alfabeto), y representa el conjunto de las cadenas que se pueden formar tomando cualquier número de cadenas del conjunto inicial, posiblemente con repeticiones, y concatenándolas entre sí.

La aplicación de la clausura de Kleene a un conjunto V se denota como V*. Es muy usada en expresiones regulares y fue introducida en este contexto por Stephen Kleene (1909-1994) para caracterizar un cierto autómata.

Dado

se define recursivamente

Si ${displaystyle V}$ es un lenguaje formal, entonces la ${displaystyle i}$-ésima potencia de ${displaystyle V}$ es la abreviatura de la concatenación de ${displaystyle V}$ consigo mismo ${displaystyle i}$ veces. Esto es, ${displaystyle V_{i}}$ puede entenderse como el conjunto de todas las cadenas de longitud ${displaystyle i}$, formado a partir de los símbolos en ${displaystyle V}$.

La definición de Kleene estrella en ${displaystyle V}$ es ${displaystyle V^{*}=igcup _{iin mathbb {N} }V_{i}=left{lambda ight}cup V_{1}cup V_{2}cup V_{3}cup ldots .}$

Es decir, es la recopilación de todas los posibles cadenas de longitud finita generados a partir de los símbolos en ${displaystyle V}$.

En algunos estudios de Lenguaje formal, usan Kleene plus que es una variación de la operación Kleene estrella. Kleene plus omite el término ${displaystyle V_{0}}$ en la unión. En otras palabras, Kleene plus en ${displaystyle V}$ es ${displaystyle V^{+}=igcup _{iin mathbb {N} ^{star }}V_{i}=V_{1}cup V_{2}cup V_{3}cup ldots .}$

Ejemplo de clausura de Kleene aplicada a un carácter:

Ejemplo de clausura de Kleene aplicada a un conjunto de cadenas:

Ejemplo de clausura de Kleene aplicada a un conjunto de caracteres:

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