Coeficiente de Poisson

El coeficiente de Poisson (denotado mediante la letra griega ${displaystyle u ,}$) es una constante elástica que proporciona una medida del estrechamiento de sección de un prisma de material elástico lineal e isótropo cuando se estira longitudinalmente y se adelgaza en las direcciones perpendiculares a la de estiramiento. El nombre de dicho coeficiente se le dio en honor al físico francés Simeon Poisson.

Si se toma un prisma mecánico fabricado en el material cuyo coeficiente de Poisson pretendemos medir y se somete este prisma a una fuerza de tracción aplicada sobre sus bases superior e inferior, el coeficiente de Poisson se puede medir como: la razón entre el acortamiento de una longitud situada en un plano perpendicular a la dirección de la carga aplicada, dividido en el alargamiento longitudinal producido. Este valor coincide igualmente con el cociente de deformaciones, de hecho la fórmula usual para el coeficiente de Poisson es:

${displaystyle u =-{frac {varepsilon _{ m {trans.}}}{varepsilon _{ m {long.}}}}}$

donde ε es la deformación.

Para un material isótropo elástico perfectamente incompresible, este es igual a 0,5. La mayor parte de los materiales prácticos en la ingeniería rondan entre 0,0 y 0,5, aunque existen algunos materiales compuestos llamados materiales augéticos que tienen coeficiente de Poisson negativo. Termodinámicamente puede probarse que todo material tiene coeficientes de Poisson en el intervalo (-1, 0,5), dado que la energía elástica de deformación (por unidad de volumen) para cualquier material isótropo alrededor del punto de equilibrio (estado natural) puede escribirse aproximadamente como:

${displaystyle {mathcal {E}}_{ m {def}}approx {mathcal {E}}_{ m {def}}+Kleft(sum _{i}epsilon _{ii} ight)^{2}+Gsum _{i,j}left(varepsilon _{ik}-{frac {delta _{ij}varepsilon _{V}}{3}} ight)^{2}+o(epsilon _{ij}^{3})}$

La existencia de un mínimo relativo de la energía para ese estado de equilibrio requiere:

${displaystyle K={frac {E}{3(1-2 u )}}>0,qquad G={frac {E}{2(1+ u )}}>0}$

Esta última condición solo se puede cumplir si el coeficente de Poisson cumple ${displaystyle 0< u <0,5}$.

Conociendo lo anterior se puede concluir que al deformarse un material en una dirección producirá deformaciones sobre los demás ejes, lo que a su vez producirá esfuerzos en todos los ejes. Por lo que es posible generalizar la ley de Hooke como:

${displaystyle {egin{cases}varepsilon _{x}={cfrac {1}{E}}left[sigma _{x}- u left(sigma _{y}+sigma _{z} ight) ight]\varepsilon _{y}={cfrac {1}{E}}left[sigma _{y}- u left(sigma _{x}+sigma _{z} ight) ight]\varepsilon _{z}={cfrac {1}{E}}left[sigma _{z}- u left(sigma _{x}+sigma _{y} ight) ight]end{cases}}}$

Para materiales ortotrópicos (como la madera), el cociente entre la deformación unitaria longitudinal y la deformación unitaria transversal depende de la dirección de estiramiento, puede comprobarse que para un material ortotrópico el coeficiente de Poisson aparente puede expresarse en función de los coeficientes de Poisson asociados a tres direcciones mutuamente perpendiculares. De hecho entre las doce constantes elásticas habituales que definen el comportamiento de un material elástico ortotrópico, solo nueve de ellas son independientes ya que deben cumplirse las restricciones entre los coeficientes de Poisson principales y los módulos de Young principales:

${displaystyle {frac { u _{yx}}{E_{y}}}={frac { u _{xy}}{E_{x}}}qquad {frac { u _{zx}}{E_{z}}}={frac { u _{xz}}{E_{x}}}qquad {frac { u _{yz}}{E_{y}}}={frac { u _{zy}}{E_{z}}}}$

El coeficiente de Poisson es adimensional. Para ver el valor del coeficiente de Poisson para varios materiales consultar los valores del coeficiente de Poisson del Anexo:Constantes elásticas de diferentes materiales.

Algunos materiales conocidos como augéticos presentan coeficientes de Poisson negativo. Cuando son sometidos a deformación positiva en sentido longitudinal, la deformación transversal también será positiva, es decir que aumentara el área de la sección. Para estos materiales, usualmente se debe a enlaces moleculares en orientación particular.^[1]​