Coeficiente de restitución

El coeficiente de restitución (en realidad, cociente) es una medida del grado de conservación de la energía cinética en un choque entre partículas clásicas.^[1]​ Se expresa como el cociente de la velocidad relativa final entre la velocidad relativa inicial entre dos objetos sometidos a colisión, donde final significa tras la colisión, e inicial antes de la misma. El coeficiente ${displaystyle C_{R}}$ presenta valores en el intervalo de números reales que va de 0 a 1 es decir, satisface la desigualdad ${displaystyle 0leq C_{R}<1}$. Siendo su valor una medida de la naturaleza de la colisión: si su valor es cero se supone un choque perfectamente inelástico, mientras que si ${displaystyle C_{R}=1}$ es considerado un choque elástico. En la gran mayoría de los choques reales el coeficiente de restitución es inferior a la unidad, lo que supone en una mayor o menor medida una deformación inelástica de los cuerpos sometidos a colisión.

Las leyes generales de la colisión entre cuerpos se expresan en la mecánica clásica, la determinación de las velocidades de los cuerpos colisionantes constituye uno de los temas recurrentes desde sus inicios, siendo los primeros autores en abordar el problema Newton y Poisson ya en el siglo XVII. Newton define el coeficiente normal de restitución con la proporción entre las velocidades relativas de los cuerpos antes y después de la colisión. De la forma:

${displaystyle { ext{Coeficiente de Restitución}}quad C_{R}={frac { ext{Velocidad Relativa tras la Colisión}}{ ext{Velocidad Relativa antes de la Colisión}}}}$

En contraste con esta definición cinemática dada por Newton, la definición abordada por Poisson se centra en los cambios detectados de energía cinética fundamentada en el coeficiente de la magnitud de los impulsos normales correspondientes a los periodos de restitución y compresión. En ausencia de fricción los resultados de Posisson son equivalentes a los proporcionados por Newton.^[2]​ Sin embargo, en presencia de fricción, ambas definiciones no son equivalentes.^[3]​ Los resultados experimentales expresados en ciertos cuerpos como pelotas de golf se han obtenido mediante experimentación realizada en 1929 por la U.S. Golf Association,^[4]​ De la misma forma algunos investigadores han profundizado en el efecto del choque de sólidos.^[5]​

La deducción de la fórmula pasa por la consideración de un choque de dos partículas de masas ${displaystyle m_{1}}$, ${displaystyle m_{2}}$ respectivamente en una dimensión, es decir moviéndose en una línea recta antes y después del choque. Sean ${displaystyle u_{1}}$ y ${displaystyle u_{2}}$ las velocidades iniciales del objeto 1 y objeto 2 respectivamente. De la misma forma sea ${displaystyle v_{1}}$ y ${displaystyle v_{2}}$ la velocidad final de estos mismos objetos tras haberse producido la colisión. Todas las velocidades se miden respecto al mismo sistema de referencia inercial. Si aplicamos las leyes de conservación de energía y momento lineal se tienen las siguientes igualdades:

Realizando algunas modificaciones algebraicas en la igualdad correspondiente a la conservación de energía (primera ecuación), se tiene que:

Lo que equivale a:

Por otra parte, de la segunda ecuación de conservación de momentos se tiene:

Realizando el cociente entre ambas expresiones reducidas, se llega a la siguiente igualdad:

Indicando que, en un choque unidimensional perfectamente elástico la suma de las velocidades de cada uno de los cuerpos, antes y después de la colisión, se mantiene constante. Si se reordenan los sumandos de tal forma que queden en cada miembro las velocidades antes y después, se obtiene:

Finalmente, de esta última expresión, se obtiene equivalentemente que:

Como la hipótesis de partida fue una colisión perfectamente elástica se supone que el valor 1 es indicador de este tipo de choque. Cabe resaltar que un valor inferior a uno permite describir que el balance de velocidades se ha modificado debido a cambios en la ecuación de energías (choque sin fricción). De esta forma las velocidades del choque, permiten definir el coeficiente de restitución como:

${displaystyle C_{R}=-{frac {v_{1}-v_{2}}{u_{1}-u_{2}}}}$

Donde cada una de las velocidades se han definido como:

Y por lo tanto, ${displaystyle C_{R}}$ es precisamente el coeficiente de restitución, que toma valores entre 0 y 1. El valor 1 se da en un choque perfectamente elástico, donde se conserva tanto el momento lineal como la energía cinética del sistema. El valor ${displaystyle 0leq C_{R}<1}$ se da en un choque inelástico (o plástico central) donde sólo se conserva el momento lineal, una porción de la energía cinética inicial de las partículas se "consume" durante el choque, convirtiéndose en energía de deformación plástica, energía sonora, calor, etcétera.

Un caso especial de interés resulta cuando el choque se realiza contra un cuerpo fijo (una pared, por ejemplo). En este caso particular la velocidad del segundo cuerpo es nula antes y después del choque por estar en reposo, lo que permite simplificar la expresión del cociente ${displaystyle C_{R}}$ como:

${displaystyle C_{R}=-{frac {v_{1}}{u_{1}}}}$

Casos especiales de aplicación de esta última expresión se encuentran en cuerpos que rebotan contra paredes, suelos, etc. En el caso particular de un cuerpo que se deja caer desde una altura ${displaystyle h_{o}}$, tras chocar contra un suelo sin fricción, se puede estimar el valor de ${displaystyle C_{R}}$ conociendo la altura máxima ${displaystyle h_{1}}$ tras el primer rebote. Es de suponer que ${displaystyle h_{o}}$ ha de ser mayor que ${displaystyle h_{1}}$ debido a la pérdida de energía durante el proceso de rebote. Resulta posible conocer ${displaystyle v_{1}}$ antes del rebote por ser un fenómeno de caída libre, de tal forma que:

${displaystyle v_{1}={sqrt {2gh_{o}}} }$

Donde g es la constante de aceleración terrestre. Por otra parte la velocidad tras el rebote se puede deducir de la altura máxima alcanzada ${displaystyle h_{1}}$ (considerando despreciable el rozamiento con el aire), de tal forma que

${displaystyle u_{1}=-{sqrt {2gh_{1}}} }$

Que permite agrupar ambas expresiones de velocidad en la definición anterior, de tal forma que permita expresar el cociente ${displaystyle C_{R}}$ como función de alturas entre dos rebotes sucesivos:

${displaystyle C_{R}={sqrt {frac {h_{1}}{h_{o}}}}}$

Esta fórmula se ha empleado en la determinación experimental del coeficiente de restitución.

El coeficiente de restitución puede determinarse experimentalmente, en algunos pocos casos bajo ciertas hipótesis analíticas también puede calcularse teóricamente. Los cálculos teóricos prueban que el coeficiente depende de hecho de la velocidad de deformación (aunque frecuentemente este efecto se ignore), además del material del que estén hecho los cuerpos. La hipótesis más común consiste en suponer un material viscoelástico lineal. Para el caso de dos esferas del mismo material viscoelástico el coeficiente de restitución puede expresarse en potencias de la velocidad de aproximación:^[6]​

${displaystyle C_{R}=1-C_{1}left({frac {3}{2}}A ight)left({frac { ho }{m_{eff}}} ight)^{2/5}v_{r}^{1/5}+C_{2}left({frac {3}{2}}A ight)^{2}left({frac { ho }{m_{eff}}} ight)^{4/5}v_{r}^{2/5}-dots }$

Donde:

${displaystyle {egin{cases}{ddot {xi }}+{cfrac { ho }{m_{eff}}}left(xi ^{3/2}+{cfrac {3}{2}}A{sqrt {xi }}{dot {xi }} ight)\xi (0)=0,{dot {xi }}(0)=0end{cases}}}$

donde:

En el choque de una única partícula contra una superficie plana, es posible aplicar la aproximación de Servera-Galván.^{[cita requerida]} A pesar de que este método permite reducir la complejidad de los cálculos, el resultado final sólo difiere ligeramente respecto de la realidad.

${displaystyle C_{R}={frac { an varphi }{ an alpha }}}$

En donde ${displaystyle alpha }$ es el ángulo de la velocidad del centro de masas después del choque, y ${displaystyle varphi }$ el ángulo de incidencia (ambos respecto a un eje paralelo a la superficie).