Combinaciones lineales

En matemáticas, particularmente en álgebra lineal, una combinación lineal es una expresión matemática que consiste en la suma entre pares de elementos, de determinados conjuntos, multiplicados entre sí.

En particular, la combinación lineal de un sistema de vectores se trata de un vector de la forma

con los ${displaystyle k_{i}}$ elementos de un cuerpo. La definición, provista de esta manera, da lugar a otras definiciones y herramientas importantes, como son los conceptos de independencia lineal y base de un espacio vectorial.

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B.

Se define como combinación lineal a toda expresión de la forma

${displaystyle sum _{egin{smallmatrix}alpha in A\bin Bend{smallmatrix}}alpha b.}$

Resulta de especial interés la definición de combinación lineal de vectores con respecto a un conjunto de escalares.

Dado un espacio vectorial V sobre un cuerpo ${displaystyle mathbb {K} }$ y un conjunto ${displaystyle A={v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{n}}}$ de vectores en V, es decir, ${displaystyle Asubset V}$.

Se dice que un vector ${displaystyle vin V}$ es combinación lineal de A si ${displaystyle exists k_{1},dots ,k_{n}in mathbb {K} :v=sum _{i=1}^{n}k_{i}v_{i}}$.

En términos no tan formales, diremos que ${displaystyle v}$ es combinación lineal de vectores de ${displaystyle A}$ si podemos expresarlo como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de ${displaystyle A}$. En este caso, también se dice que ${displaystyle v}$ depende linealmente de los vectores de ${displaystyle A}$.^[1]​

${displaystyle {egin{pmatrix}20\12\37end{pmatrix}}=2{egin{pmatrix}1\3\5end{pmatrix}}+3{egin{pmatrix}6\2\9end{pmatrix}}.}$

En general, dado un vector v en un espacio vectorial, todo múltiplo suyo ${displaystyle lambda v}$ es combinación lineal. Para el caso particular ${displaystyle vin mathbb {R} ^{2}}$, sus múltiplos son vectores en el plano con la misma dirección, es decir, paralelos.

Dado ${displaystyle vin mathbb {R} ^{3}}$, decir que v es combinación lineal de otros dos vectores ${displaystyle v_{1},v_{2}}$ no paralelos equivale a afirmar que los tres vectores son coplanarios, es decir, que se encuentran en un mismo plano.

Dado un conjunto de vectores A del espacio vectorial V, finito o infinito, se llama espacio generado, denotado como ${displaystyle {mbox{gen}}(A)}$, al conjunto:^[2]​

${displaystyle {mbox{gen}}(A)=left{vin V|exists a_{1},dots a_{n}in mathbb {K} ,exists v_{1},dots v_{n}in A:v=sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i} ight}}$

donde ${displaystyle mathbb {K} }$ es el cuerpo sobre el cual está definido V. En términos menos formales, el espacio generado a partir de A es el conjunto de todas las combinaciones lineales que pueden formarse con los vectores de A. Dicho conjunto es el mínimo subespacio vectorial de V que contiene al conjunto A.^{[cita requerida]}

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