Conjunto de nivel

Sea ${displaystyle H}$ un conjunto y ${displaystyle f:H o mathbb {R} }$ un campo escalar sobre ${displaystyle H}$. El conjunto de nivel ${displaystyle C_{k}}$ para la función ${displaystyle f}$ es el subconjunto de puntos ${displaystyle x}$ en ${displaystyle H}$ para los cuales ${displaystyle f(x)=k}$.

En símbolos:

Un conjunto de nivel puede coincidir con el conjunto vacío.

Si el conjunto ${displaystyle H}$ coincide con ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ y el campo escalar ${displaystyle f}$ es de clase ${displaystyle C^{1}}$ entonces los vectores gradiente del campo escalar son ortogonales a los conjuntos de nivel en el siguiente sentido: Sea ${displaystyle C_{k}}$ un conjunto de nivel y ${displaystyle c:Isubset mathbb {R} o C_{k}}$ una curva diferenciable. Los vectores gradiente del campo ${displaystyle f}$ sobre la curva, son ortogonales a los vectores velocidad de la curva.

En efecto, para todo ${displaystyle t}$ en ${displaystyle I}$,

Derivando respecto de ${displaystyle t}$ se obtiene (usando la derivada de una composición de funciones)

En particular, las curvas integrales asociadas al campo vectorial generado por el gradiente de ${displaystyle f}$ son "ortogonales" a los conjuntos de nivel asociadas a dicha función.

En física, estas curvas integrales se las suele llamar líneas de campo o líneas de fuerza, según el contexto.