Conjunto vacío

Desde principios del siglo XX, en la matemática, particularmente en la teoría axiomática de Conjuntos de ZF o la teoría intuitiva de conjuntos, el conjunto vacío es el que no posee elemento alguno. Puesto que lo único que define a un conjunto es la propiedad que satisfacen sus elementos, el conjunto vacío es único.

Algunas propiedades de los conjuntos son obviamente ciertas para el conjunto vacío. En una teoría axiomática de conjuntos, la existencia de un conjunto vacío se postula.

El conjunto vacío es el conjunto que no tiene elementos.

El conjunto vacío es denotado por los símbolos:

${displaystyle varnothing ,{acute { ext{o}}};emptyset ,}$

derivados de la letra Ø de las lenguas danesa y noruega, entre otras. Esta notación fue introducida por André Weil en 1939.^[1]​ Otra notación común para el conjunto vacío es la notación extensiva, especificando sus elementos (ninguno) entre llaves:

El conjunto vacío ${displaystyle emptyset }$ es el conjunto de todos los elementos ${displaystyle x}$ tal que ${displaystyle x eq x}$

Expresión analítica : Sea el conjunto en el espacio vectorial R ${displaystyle S={xin mathbf {Z} :x^{2}-x-2=0}.}$. Entonces ${displaystyle S=varnothing }$^[2]​

Es necesario y legítimo hablar de «el conjunto vacío» y no de «un conjunto vacío». El conjunto vacío posee ciertas propiedades:

${displaystyle Asubseteq varnothing ;{ ext{ si y solo si }};A=varnothing }$

${displaystyle |varnothing |=0}$

Muchas afirmaciones sobre el conjunto vacío son trivialmente ciertas, debido a la siguiente propiedad:

Sea una propiedad expresada mediante un predicado (como «ser mortal» o «ser un número primo»). Entonces todos los elementos del conjunto vacío poseen esa propiedad.

Este teorema es cierto porque el conjunto vacío no tiene elementos, y decir «todo hombre en ∅ es inmortal» es lo mismo que afirmar que «no hay ningún hombre mortal en ∅», y esto último es trivialmente cierto. Además, el conjunto vacío actúa como el cero en las operaciones del álgebra de conjuntos:

${displaystyle varnothing subseteq A}$

${displaystyle Acup varnothing =A}$

${displaystyle Acap varnothing =varnothing }$

${displaystyle A imes varnothing =varnothing imes A=varnothing }$

Adicionalmente, el conjunto potencia del conjunto vacío es el que contiene sólo al mismo conjunto vacío, es decir, { ∅ }. Por lo tanto, el número cardinal de ${displaystyle {mathcal {P}}(varnothing )={varnothing }}$ es ${displaystyle |{mathcal {P}}(varnothing )|=1}$.