Contraposición

Se llama contrarrecíproco o contraposición a una ley lógica, formalizada en los silogismos por Aristóteles, que establece que la negación de un consecuente implica la negación de su antecedente. Es decir, si una primera premisa implica una segunda premisa, se puede concluir que la negación de la segunda premisa implica la negación de la primera premisa. En consecuencia, la implicación original y su contrarrecíproco son equivalentes.

Esta ley lógica puede escribirse formalmente como:

${displaystyle (A ightarrow B)leftrightarrow (lnot B ightarrow lnot A)}$

Por ejemplo, la siguiente implicación

${displaystyle (A ightarrow B)}$ Está lloviendo, por lo tanto, te espero dentro del teatro.

es equivalente a su contrarrecíproco

${displaystyle (lnot B ightarrow lnot A)}$ No te espero dentro del teatro, por lo tanto, no está lloviendo.

El contrarrecíproco es una articulación alternativa del modus tollendo tollens de la lógica proposicional.

Esta ley lógica puede utilizarse como regla de derivación en la línea de premisas. y puede definirse como la fórmula lógica

${displaystyle (A ightarrow B)leftrightarrow (lnot B ightarrow lnot A)}$.

En efecto, si analizamos su tabla de valores de verdad:

Esta equivalencia queda clara, puesto que se obtiene una tautología.

La demostración de esta ley como regla del cálculo se realiza mediante la utilización de la regla "Introducción del negador", "Absurdo" o "Demostración indirecta" (diferentes nombres para una misma regla), de donde la regla "contrarrecíproco", también llamada de "contraposición" o "transposición" es derivada.

Aplicando las reglas del cálculo deducción natural:

Se expone aquí la fundamentación de una sola modalidad de las cuatro posibles, pues todas siguen los mismos pasos con iguales patrones, partiendo naturalmente del cambio de la premisa inicial.:^[1]​

${displaystyle A ightarrow lnot Bvdash B ightarrow lnot A}$

${displaystyle lnot A ightarrow Bvdash lnot B ightarrow A}$

${displaystyle lnot A ightarrow lnot Bvdash B ightarrow A}$

Una vez fundamentada la ley en todos los casos posibles podemos establecer, como fórmulas equivalentes una regla de reemplazo de la siguiente forma:

Transposición

Si tenemos que demostrar que una proposición p implica una proposición q (es decir, si se da p, se tiene que dar q), a veces es más sencillo demostrar que si no se da q, entonces no puede cumplirse p. Esto se conoce como demostración por contrarrecíproco o contraposición. Nótese que "p implica q" y "no q implica no p" son proposiciones equivalentes.

Un ejemplo sencillo: "Demuéstrese que todos los números primos mayores que 2 son impares". Aquí,

${displaystyle p}$: "n es un número primo mayor que 2" ${displaystyle q}$: "n es un número impar".

Demostrar

${displaystyle pRightarrow q}$: "si un número primo es mayor que 2, entonces es impar "

es lo mismo que demostrar que

${displaystyle lnot qRightarrow lnot p}$: "si un número entero es par (i.e. no impar), entonces no es un número primo o es menor o igual que 2."

La ventaja es que ésto es más fácil de demostrar, ya que todo número par se puede escribir como n = 2 × k, donde k es entero. Si k es menor o igual que 1 entonces n es menor o igual que 2 (segunda parte de ${displaystyle lnot p}$), así que podemos suponer que k es mayor que 1. En este supuesto n es mayor que 2, pero no es primo ya que tiene algún factor que no es ni 1 ni él mismo, concretamente k. Así que 2 es el único número primo par, por lo que se ha demostrado que todos los números primos mayores que 2 son impares.