Coordenadas ortogonales

Un sistema de coordenadas ortogonales es un sistema de coordenadas tal que en cada punto los vectores tangentes a las curvas coordenadas son ortogonales entre sí. Este tipo de coordenadas pueden definirse sobre un espacio euclídeo o más generalmente sobre una variedad riemanniana o pseudoriemanniana.

Dada una variedad de (pseudo)riemanniana ${displaystyle {mathcal {M}}}$, un conjunto abierto ${displaystyle O}$ del mismo y un punto dentro de dicho conjunto abierto ${displaystyle min Osubset {mathcal {M}}}$, una carta local o "sistema de coordenadas" local puede representarse por una función:

${displaystyle phi :Osubset {mathcal {M}} o mathbb {R} ^{d}qquad pin Oland phi (p)=(x^{1},x^{2},...,x^{d})in mathbb {R} ^{d}}$

Donde d es la dimensión del espacio donde se define el sistema de coordenadas local. Las d curvas coordenadas C_i(t) y sus vectores tangentes vienen definidas por las ecuaciones:

${displaystyle phi (C_{i}(t))=(x_{(0)}^{1},...,x^{i}(t),...,x_{(0)}^{n})qquad mathbf {v} _{i}=C_{i}'(t)={frac {partial }{partial x^{i}}}}$

El sistema de coordenadas será ortogonal si los vectores tangentes a las curvas coordenadas x_i son ortogonales, es decir, si:

${displaystyle g(mathbf {v} _{i},mathbf {v} _{j})=0 (i eq j),qquad g(mathbf {v} _{i},mathbf {v} _{i})=h_{i}^{2}(x^{1},x^{2},...,x^{d})}$

Donde g(, ) es el tensor métrico del espacio donde se definen las coordenadas.

La elección de uno u otro sistema depende de las simetrías del problema geométrico o físico planteado. Al ser todos estos sistemas de coordenas ortogonales en ellos el tensor métrico tiene la forma:

${displaystyle (g_{ij})={egin{bmatrix}h_{1}^{2}&0&0\0&h_{2}^{2}&0\0&0&h_{3}^{2}end{bmatrix}}}$

Donde las tres componentes no nulas son los llamados factores de escala son funciones de las tres coordenadas.

Los operadores vectoriales pueden expresarse fácilmente en términos de estas componentes del tensor métrico.

${displaystyle mathrm {grad} Phi = abla Phi ={frac {1}{h_{1}}}{frac {partial Phi }{partial x^{1}}},{hat {mathbf {e} }}_{1}+{frac {1}{h_{2}}}{frac {partial Phi }{partial x^{2}}},{hat {mathbf {e} }}_{2}+{frac {1}{h_{3}}}{frac {partial Phi }{partial x^{3}}},{hat {mathbf {e} }}_{3}}$

${displaystyle {mbox{div}} mathbf {A} = abla cdot mathbf {A} ={frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}left[{frac {partial }{partial x^{1}}}(h_{2}h_{3}A_{1})+{frac {partial }{partial x^{2}}}(h_{3}h_{1}A_{2})+{frac {partial }{partial x^{3}}}(h_{1}h_{2}A_{3}) ight]}$

${displaystyle {mbox{rot}} mathbf {A} = abla imes mathbf {A} ={frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{egin{vmatrix}h_{1}{hat {mathbf {e} }}_{1}&h_{2}{hat {mathbf {e} }}_{2}&h_{3}{hat {mathbf {e} }}_{3}\partial _{x^{1}}&partial _{x^{2}}&partial _{x^{3}}\h_{1}A_{1}&h_{2}A_{2}&h_{3}A_{3}end{vmatrix}}}$

${displaystyle Delta Phi =( abla cdot abla )Phi ={frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}left[{frac {partial }{partial x^{1}}}left({frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{frac {partial Phi }{partial x^{1}}} ight)+{frac {partial }{partial x^{2}}}left({frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{frac {partial Phi }{partial x^{2}}} ight)+{frac {partial }{partial x^{3}}}left({frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{frac {partial Phi }{partial x^{3}}} ight) ight]}$

En el espacio euclídeo tridimensional se emplean diferentes sistemas de coordenadas, a veces, combinando tipos de coordenadas ortogonales y angulares:

La coordenadas usadas en la teoría de la relatividad general son el ejemplo físico más conocido de sistemas de coordenadas sobre un espacio globalmente no euclídeo.

En un espacio-tiempo estático siempre es posible escoger alrededor de cualquier punto del espacio-tiempo un sistema de coordenadas ortogonal.^{[cita requerida]}