Cota superior asintótica

En análisis de algoritmos, una cota superior asintótica es una función que sirve de cota superior de otra función cuando el argumento tiende a infinito. Usualmente se utiliza la notación de Landau: O(g(x)), Orden de g(x), coloquialmente llamada Notación O Grande, para referirse a las funciones acotadas superiormente por la función g(x).

Formalmente se define:

${displaystyle O(g(x))=left{{egin{matrix}f(x):{mbox{existen }}x_{0},c>0{mbox{ tales que}}\forall xgeq x_{0}>0:0leq |f(x)|leq c|g(x)|end{matrix}} ight}}$

Una función f(x) pertenece a O(g(x)) cuando existe una constante positiva c tal que a partir de un valor ${displaystyle x_{0}}$, f(x) no sobrepasa a ${displaystyle cg(x)}$. Quiere decir que la función f es inferior a g a partir de un valor dado salvo por un factor constante.

La cota superior asintótica tiene gran importancia en la Teoría de la complejidad computacional cuando se definen las clases de complejidad.

A pesar de que O(g(x)) está definida como un conjunto, se acostumbra escribir f(x)=O(g(x)) en lugar de f(x)∈O(g(x)). Muchas veces también se habla de la función nombrando únicamente su expresión, como en x² en lugar de h(x)=x², siempre que esté claro cuál es el parámetro de la función dentro de la expresión. En la gráfica se da un ejemplo esquemático de cómo se comporta ${displaystyle cg(x)}$ con respecto a f(x) cuando x tiende a infinito. Nótese además que dicho conjunto es no vacío pues g(x)=O(g(x)).

La cota ajustada asintótica (notación Θ) tiene relación con las cotas asintóticas superior e inferior (notación Ω):

${displaystyle f(x)=Theta (g(x)){mbox{ si y solo si }}f(x)=O(g(x)){mbox{ y }}f(x)=Omega (g(x)),}$

Sea ${displaystyle Esubseteq mathbb {R} }$, sean ${displaystyle f_{1}:E o mathbb {R} }$, ${displaystyle g_{1}:E o mathbb {R} }$, ${displaystyle f_{2}:E o mathbb {R} }$, ${displaystyle g_{2}:E o mathbb {R} }$ funciones y ${displaystyle k}$ un real. Entonces los siguientes enunciados son ciertos:

Los órdenes más utilizados en análisis de algoritmos, en orden creciente, son los siguientes (donde c representa una constante y n el tamaño de la entrada):