Criterio de la segunda derivada

El Criterio de la segunda derivada es un teorema o método de cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba correspondiente a los máximos y mínimos relativos de una función.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función ${displaystyle f}$ es convexa en un intervalo abierto que contiene a ${displaystyle c}$, y ${displaystyle f'(c)=0,;f(c)}$ debe ser un mínimo relativo a ${displaystyle f}$. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava en un intervalo abierto que contiene a ${displaystyle c}$ y ${displaystyle f'(c)=0,;f(c)}$ debe ser un máximo relativo de ${displaystyle f}$.

Sea ${displaystyle f}$ una función derivable dos veces en un entorno abierto que contiene a ${displaystyle x}$ tal que ${displaystyle f'(x)=0}$ (${displaystyle x}$ es, consecuentemente, un punto crítico de ${displaystyle f(x)}$) con la siguiente segunda derivada:^[1]​

Los puntos críticos de la función ${displaystyle f(x)=3x^{3}-8x^{2}+7x-2}$ son ${displaystyle x=1}$ y ${displaystyle x=7/9}$. La función es dos veces derivable en entornos de estos puntos y su segunda derivada es ${displaystyle f''(x)=18x-16}$. Como ${displaystyle f''(1)=2>0}$ y ${displaystyle f''(7/9)=-2<0}$, por el criterio de la segunda derivada, ${displaystyle f}$ tiene un mínimo local en ${displaystyle x=1}$ y un máximo local en ${displaystyle x=7/9}$.^[2]​

Criterio de la Segunda Derivada. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo