Cuantificador existencial

En el lenguaje de predicados en lógica matemática, se usa el símbolo: ${displaystyle exists }$, llamado cuantificador existencial, ante puesto a una variable para decir que "existe al menos" un elemento del conjunto, ${displaystyle B}$, al que hace referencia la variable, que cumple la proposición escrita a continuación.^[1]​

Existe x que pertenece a B.

Si tenemos dos conjuntos diferentes ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$, y ${displaystyle A}$ es un subconjunto de ${displaystyle B}$:

existe al menos un elemento ${displaystyle x}$ de ${displaystyle B}$ que pertenece a ${displaystyle A}$:

Al afirmar que existe al menos un ${displaystyle x}$ que pertenece a ${displaystyle B}$ y pertenece a ${displaystyle A}$, quiere decir que no todos los elementos de ${displaystyle B}$ pertenecen a ${displaystyle A}$, al ser ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$ conjuntos distintos, existe al menos un elemento ${displaystyle y}$ de ${displaystyle B}$ que no pertenece a ${displaystyle A}$:

Que podemos leer: existe al menos un elemento ${displaystyle y}$ en ${displaystyle B}$, y este elemento ${displaystyle y}$ no pertenece a ${displaystyle A}$.

Como relata John F. Sowa^[2]​ (p. 475), a partir de la distinción que Bertrand Russell y Alfred North Whitehead hicieron en los Principia Mathematica en dos operadores, E! «indicando exactamente uno» y E!! indicando «único», Stephen Kleene, definió el cuantificador existencial «exactamente uno» ${displaystyle (exists !x)}$, explícitamente:

y el propio Sowa, el cuantificador existencial «único» ${displaystyle (exists !!x)}$, implícitamente:

Hay que notar que en la literatura está muy extendida la denominación «cuantificador de existencia única» para el primero —aunque se mantiene también sobre todo en la literatura inglesa la denominación Kleene's exactly-one quantifier (basta con hacer una búsqueda en Internet)—, y todo ello a pesar de la confusión que esto puede generar, pues no es precisamente lo mismo «exactamente uno» que «único», como argumenta Sowa. Veámoslo con un ejemplo —adaptado de Sowa (p. 475):

Si no se especifica nada en contra, al referirse al cuantificador de existencia única se entiende el primero.