Cuatro cuatros

El problema de los cuatro cuatros es uno de los problemas enunciados en el libro El hombre que calculaba (de Malba Tahan).

El origen del problema se da en una conversación entre Beremís (El hombre que calculaba) y su acompañante, al ver una tienda en la que todo se vendía a cuatro dinares. De ahí que Beremís recuerde que es una interesante coincidencia que le hace recordar un "hermoso problema".

El problema consiste, según el enunciado, en encontrar la forma matemática para representar cualquier número, usando para ello solo cuatro cuatros (cuatro números cuatro), y a lo sumo, algunos símbolos no literales para las operaciones básicas. Beremís da algunos ejemplos para algunos de los números más conocidos, como el cero y los números del uno al diez.

Problemas similares pueden plantearse con tres tres, etcétera. Sin embargo, es muy fácil representar con cuatro cuatros muchos números de gran importancia para las civilizaciones actuales.

Es común plantear este problema en dos fases, primero resolver los números de uno al diez, y después del uno al cien. Todos los primeros cien números tienen respuesta.

También existe la variación de hacerlo con los números uno, dos, tres y cuatro, donde cada número debe utilizarse una y solo una vez.

A continuación, se presentan algunos ejemplos para varios números.

Si bien el problema original solo contaba con las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, multiplicación, concatenación, raíces, factoriales y conversión a decimales, si se permite también agregar el operador logaritmo, entonces se puede generar una solución para todo número perteneciente a los números reales.

Partiendo que:

${displaystyle a=b^{c}Rightarrow log _{b}a=c}$

Quiere decir que:

${displaystyle 4=4^{1}Rightarrow log _{4}4=1}$

${displaystyle 16=4^{2}Rightarrow log _{4}16=2}$

${displaystyle 64=4^{3}Rightarrow log _{4}64=3}$

Y de esta manera sucesivamente, se tiene una respuesta para todos los números reales utilizando ${displaystyle log _{4}(x)}$, ya que ${displaystyle lim _{x ightarrow infty }log _{4}(x)=infty }$, así que habrá una respuesta para cada número natural.

Además que ${displaystyle log _{4}4^{n}=n}$

Ahora, para utilizar los cuatro cuatros, entonces se procede con que:

${displaystyle {sqrt {a}}equiv a^{frac {1}{2}}}$

Utilizando esto en la propiedad anterior se obtiene que:

${displaystyle log _{4}{sqrt {4}}={frac {1}{2}}}$

${displaystyle {sqrt {sqrt {a}}}equiv a^{{frac {1}{2}}cdot {frac {1}{2}}}}$

${displaystyle log _{4}{sqrt {sqrt {4}}}={frac {1}{4}}}$

${displaystyle log _{4}{sqrt {sqrt {sqrt {4}}}}={frac {1}{8}}}$

De esta manera, y con los operandos logaritmo y raíz, se utilizan dos de los cuatro cuatros; ahora, se parte de:

${displaystyle a=b^{c}Rightarrow log _{b}a=c}$

Para encontrar las respuestas de los anteriores pero esta vez para la base ${displaystyle {frac {1}{2}}}$:

${displaystyle log _{frac {1}{2}}({frac {1}{2}})=1}$

${displaystyle log _{frac {1}{2}}({frac {1}{4}})equiv log _{frac {1}{2}}({frac {1}{2}}^{2})=2}$

${displaystyle log _{frac {1}{2}}({frac {1}{8}})equiv log _{frac {1}{2}}({frac {1}{2}}^{3})=3}$

Lo único que se requiere es conseguir expresar ${displaystyle {frac {1}{2}}}$ con los dos cuatros restantes;

${displaystyle {frac {1}{2}}={frac {2}{4}}equiv {frac {left|{sqrt {4}} ight|}{4}}}$

Entonces todo lo que se requiere es expresar:

${displaystyle log _{frac {left|{sqrt {4}} ight|}{4}}left[log _{4}{sqrt {4}} ight]=n}$

Donde n es el número de operando raíces que deben ser colocadas

Con n=1;

${displaystyle log _{frac {left|{sqrt {4}} ight|}{4}}left[log _{4}{sqrt {4}} ight]=1}$

Con n=2;

${displaystyle log _{frac {left|{sqrt {4}} ight|}{4}}left[log _{4}{sqrt {sqrt {4}}} ight]=2}$

Con n=3;

${displaystyle log _{frac {left|{sqrt {4}} ight|}{4}}left[log _{4}{sqrt {sqrt {sqrt {4}}}} ight]=3}$

Con n=4;

${displaystyle log _{frac {left|{sqrt {4}} ight|}{4}}left[log _{4}{sqrt {sqrt {sqrt {sqrt {4}}}}} ight]=4}$

Recordemos que una raíz n de un número m, es igual a m elevado a la (1/n), por ende al utilizar la raíz cuadrada de 4 dejaríamos de usar solo cuatro cuatros, ya que también estaríamos empleando los números 1 y n respectivamente para la potencia. En conclusión, esta demostración por construcción queda totalmente invalidada porque no cumple con la premisa de partida del problema. Finalmente, podemos deducir que F lau. No olvidar que al asumir la transitividad por la Conjetura de Cliff, se toman solo los números impares.

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