Densidad de corriente

En electromagnetismo, la densidad de corriente eléctrica se define como una magnitud vectorial que tiene unidades de corriente eléctrica por unidad de superficie, es decir, intensidad por unidad de área.

Matemáticamente, la corriente y la densidad de corriente se relacionan como:

${displaystyle I=int _{S}mathbf {j} cdot dmathbf {S} ,}$

La densidad de corriente está relacionada con los portadores de cargas (electrones, huecos, iones en un electrolito) por:

${displaystyle mathbf {j} =sum _{i}n_{i} q_{i} mathbf {v} _{i}}$

Si la densidad de corriente es uniforme en una región del espacio entonces la relación se simplifica notablemente. Esto sucede con bastante aproximación en el interior de un tramo de conductor de sección constante, donde el vector ${displaystyle mathbf {j} }$ es independiente de la posición por lo que la sección, la densidad de corriente y la intensidad guardan la relación:

${displaystyle I=|mathbf {j} |S_{0}}$

Siendo ${displaystyle S_{0}}$ la sección transversal del tramo de conductor.

Si tenemos una región del espacio con una densidad de carga, no necesariamente uniforme, en la que el movimiento de cargas se puede representar por un campo vectorial de velocidades, para esa distribución de cargas en movimiento tenemos:

${displaystyle mathbf {j} = ho mathbf {v} }$

donde ${displaystyle ho }$ es la densidad de carga en un punto y ${displaystyle mathbf {v} }$ la velocidad de las cargas en ese punto.

En teoría de la relatividad debido al carácter relativo del espacio y el tiempo, todas las magnitudes físicas relevantes deben ser representables en un espacio-tiempo unificado, que permita relacionar adecuadamente las medidas hechas por diferentes observadores, eso implica que las magnitudes vectoriales de la mecánica clásica deben ser cuadrivectores, cuya parte espacial coincide con las componentes vectoriales de las magnitudes correspondientes de la mecánica clásica.

Así el vector densidad de corriente en mecánica relativista debe reemplazarse por un cuadrivector densidad de corriente, que intervendrá en los análogos relativistas de las ecuaciones del electromagnetismo. Este cuadrivector densidad de corriente vienen dado por:

${displaystyle mathbf {J} =( ho c, ho v_{x}, ho v_{y}, ho v_{z})=left( ho c, mathbf {j} ight) in mathbb {R} imes mathbb {R} ^{3}}$

Donde ${displaystyle ( ho v_{x}, ho v_{y}, ho v_{z})}$ son las componentes de la velocidad tridimensional de una distribución de carga y (${displaystyle c}$) es la velocidad de la luz.

En mecánica cuántica, la corriente de probabilidad (también denominada flujo de probabilidad) es un concepto que describe el flujo de densidad de probabilidad. Así, en mecánica cuántica no-relativista, se define como

${displaystyle mathbf {j} ={frac {hbar }{2mi}}left(Psi ^{*}{oldsymbol { abla }}Psi -Psi {oldsymbol { abla }}Psi ^{*} ight)={frac {hbar }{m}}{mbox{Im}}(Psi ^{*}{oldsymbol { abla }}Psi )={mbox{Re}}(Psi ^{*}{frac {hbar }{im}}{oldsymbol { abla }}Psi )}$

y satisface la ecuación de continuidad mecanocuántica

${displaystyle {frac {partial ho }{partial t}}+{oldsymbol { abla }}cdot mathbf {j} =0}$

siendo la densidad de probabilidad ${displaystyle ho ,}$

${displaystyle ho =|Psi |^{2}}$