Densidad de flujo eléctrico

En electromagnetismo, el desplazamiento eléctrico es un vector ${displaystyle mathbf {D} (mathbf {r} ,t)}$ función de la posición ${displaystyle mathbf {r} }$ en el espacio y del tiempo ${displaystyle t,}$, o también ${displaystyle mathbf {D} (mathbf {r} ,omega )}$ función de la posición ${displaystyle mathbf {r} }$ en el espacio y de la frecuencia ${displaystyle omega }$, que aparece en las ecuaciones de Maxwell. Puede considerarse como una generalización del campo eléctrico en presencia de un dieléctrico. A veces también se denomina campo de desplazamiento eléctrico, densidad de flujo eléctrico o excitación eléctrica. En cada punto de un campo eléctrico de valor E existe un vector desplazamiento D cuyo valor es el del campo eléctrico multiplicado por la constante dieléctrica o permitividad del medio ε, de modo análogo a como en un campo magnético de excitación H existe un vector B cuyo valor es el de H multiplicado por la permeabilidad μ.

Conforme a ello, en la mayor parte de los materiales ${displaystyle mathbf {D} }$ puede ser calculado como

${displaystyle mathbf {D} =varepsilon mathbf {E} }$

donde ${displaystyle varepsilon }$ es la permitividad eléctrica del material, que en un medio lineal, no isótropo es un tensor de segundo orden (una matriz).

En el vacío ${displaystyle varepsilon =varepsilon _{0}}$.

En el Sistema Internacional de Unidades ${displaystyle mathbf {D} }$ se mide en culombios por metro cuadrado, es decir C/m².

La utilización de estas unidades resulta de la ecuación de Ampère-Maxwell:

${displaystyle mathbf { abla } imes mathbf {H} =mathbf {J} +{frac {partial mathbf {D} }{partial t}}}$

donde ${displaystyle mathbf {H} }$ se expresa en amperios por metro (A.m^-1), y ${displaystyle mathbf {J} }$ en Amperios por metro cuadrado (A.m^-2). ${displaystyle mathbf {D} }$ tiene que ser expresado en amperios por metro cuadrado por segundo (A.m^-2.s), puesto que el culombio es por definición la cantidad de electricidad que atraviesa una sección de un conductor recorrido por una corriente de intensidad de 1 amperio durante 1 segundo (1 C = 1 A.s).

Si medimos B y H en teslas y E y D en newtons por coulombs, la ecuación deviene:

${displaystyle abla imes mathbf {B} =mu _{0}mathbf {J} +{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}}$

Que muestra por qué se prefiere expresar B y H con unidades diferentes que D y E.

Las unidades escogidas han variado a lo largo de la historia, por ejemplo en sistema de unidades electromagnéticas, en lo que la unidad de carga se define como ${displaystyle 1/4pi varepsilon _{0}=1}$ (adimensional), D y E se expresan en las mismas unidades.

En general, se considera que un medio lineal ${displaystyle mathbf {D} (mathbf {r} ,omega )}$ está relacionado con el campo eléctrico ${displaystyle mathbf {E} (mathbf {r} ,omega )}$ por la relación

${displaystyle mathbf {D} (mathbf {r} ,omega ) = epsilon (mathbf {r} ,omega )*mathbf {E} (mathbf {r} ,omega )}$

donde ${displaystyle epsilon (mathbf {r} ,omega )}$ representa la permitividad eléctrica absoluta del medio, que es una matriz 3x3 en los medios anisótropos. Esta relación no es universal, por ejemplo:

no afecta a los medios eléctricamente no lineales (${displaystyle mathbf {D} (mathbf {r} ,omega )}$ que dependen también de los términos cuadráticos de ${displaystyle mathbf {E} (mathbf {r} ,omega )}$),

ni los medios con la propiedad de quiralidad (${displaystyle mathbf {D} (mathbf {r} ,omega )}$ que dependen linealmente de ${displaystyle mathbf {E} (mathbf {r} ,omega )}$ pero también del campo magnético ${displaystyle mathbf {H} (mathbf {r} ,omega )}$).

Para un condensador, la densidad de carga eléctrica en las placas es igual al valor del campo D entre las placas. Eso se deduce directamente de la ley de Gauss, si integramos en una pequeña caja rectangular las placas del condensador:

donde A representa el área orientada de la caja y Q la carga acumulada por el condensador. La parte de la caja que está fuera de las placas tiene un campo nulo, así esta parte de la integral es cero. En los extremos de la caja, ${displaystyle dmathbf {A} }$ es perpendicular al campo, por lo tanto esta parte de la integral también es cero. Al final tenemos que D es constante entre las placas:

que representa la densidad de carga de las placas.