Desigualdad de Harnack

En matemáticas, la desigualdad de Harnack es una desigualdad relacionando los valores de una función armónica positiva a dos puntos, introdujo por A. Harnack (1887). J. Serrin (1955) y J. Moser (1961, 1964) generalizó Harnack desigualdad en soluciones de elíptica o ecuaciones diferenciales parciales parabólicas. La solución de Perelman de la conjetura de Poincaré utiliza una versión de la desigualdad de Harnack, que se encuentra por R. Hamilton (1993), por el flujo de Ricci. La desigualdad de Harnack se utiliza para demostrar el principio de Harnack sobre la convergencia de sucesiones de funciones armónicas. La desigualdad de Harnack también se puede utilizar para mostrar la regularidad interior de soluciones débiles de ecuaciones diferenciales parciales.

La desigualdad de Harnack aplica a una función no-negativa f definida en una bola cerrada en R n con radios R y centro x 0 . Declara que, si f es continuo en el balón cerrada y armónica en su interior, entonces para cualquier punto x con | x - x 0 | = R < R

En el plano ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ (n= 2) la desigualdad puede ser escrita:

Para dominios generales ${displaystyle Omega }$ en ${displaystyle mathbf {R} ^{n}}$ la desigualidad puede ser declarada así: si ${displaystyle omega }$ es un dominio delimitado y ${displaystyle {ar {omega }}subset Omega }$, entonces existe un constante ${displaystyle C}$ tal que

para cada función dos veces diferenciable, armónica y no-negativa ${displaystyle u(x)}$. La constante ${displaystyle C}$ es independiente de ${displaystyle u}$; sólo depende de los dominios ${displaystyle Omega }$ y ${displaystyle omega }$.

Por fórmula de Poisson:

donde ${displaystyle omega _{n-1}}$ es el área de la esfera unitaria en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ y r = |x - x₀|.

dado que

el núcleo en el integrando satisface

La desigualdad de Harnack sigue para sustituir esta desigualdad en la integral anterior y usando el hecho de que la media de una función armónica sobre una esfera es igual a su valor en el centro de la esfera:

Las ecuaciones diferenciales parciales elípticas, la desigualdad de Harnack afirma que el supremo de una solución positiva en alguna región abierta conectada está limitada por algunos tiempos constantes el ínfimo, posiblemente con un término agregado que contiene una norma funcional de los datos:

La constante depende del elipticidad de la ecuación y la región abierta conectada.

Hay una versión de la desigualdad de Harnack por parabólicos lineales de PDE como la ecuación del calor.

sea ${displaystyle {mathcal {M}}}$ un dominio sin problemas en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ y considerar el operador parabólico lineal

con coeficientes lisos y acotados y una matriz no degenerada ${displaystyle (a_{ij})}$. Supongamos que ${displaystyle u(t,x)in C^{2}((0,T) imes {mathcal {M}})}$ es una solución de

de tal manera que

sea ${displaystyle K}$ un subconjunto compacto de ${displaystyle {mathcal {M}}}$ y seleccione ${displaystyle au in (0,T)}$. Entonces existe una constante ${displaystyle quad C>0}$ (Dependiendo sólo de ${displaystyle K}$, ${displaystyle au }$ y los coeficientes de ${displaystyle {mathcal {L}}}$) De tal manera que, para cada ${displaystyle quad tin ( au ,T)}$,