Diagrama conmutativo

En matemática, y especialmente en teoría de categorías, un diagrama conmutativo es un diagrama de objetos (también conocidos como vértices) y morfismos (también conocidos como flechas o aristas) tales que todas las rutas directas en el diagrama con los mismos puntos finales y mismo comienzo conducen al mismo resultado por composición. Los diagramas conmutativos desempeñan un papel fundamental en teoría de categorías al igual que las ecuaciones lo hacen en álgebra.

Nótese que un diagrama puede ser no conmutativo, por ejemplo la composición de diferentes rutas en el diagrama puede no dar el mismo resultado. Para clarificar, frases como «este diagrama conmutativo» o «el diagrama conmuta» pueden ser usadas.

En el siguiente diagrama se expresa el primer teorema de isomorfía, conmutativamente significa que ${displaystyle f={ ilde {f}}circ pi }$:

A continuación se muestra un cuadrado conmutativo genérico, en el cual ${displaystyle hcirc f=kcirc g}$

En los textos de álgebra, el tipo de morfismos puede ser denotado mediante el uso de diferentes flechas: monomorfismos con una ${displaystyle hookrightarrow }$, epimorfismos con una ${displaystyle woheadrightarrow }$, e isomorfismos con una ${displaystyle {overset {sim }{ ightarrow }}}$. La flecha a trazos típicamente representa la afirmación de que el morfismo indica que existe cada vez que el resto del esquema se cumple. Esto es bastante común que los textos a menudo no expliquen el significado de los diferentes tipos de flechas.

Conmutatividad da sentido a un polígono de cualquier número finito de caras (incluso únicamente 1 o 2), y un diagrama es conmutativo si cada subdiagrama poligonal es conmutativo.

La persecución o cacería de diagramas es un método de demostración matemática usado sobre todo en álgebra homológica. Dado un diagrama conmutativo, una demostración mediante persecución de diagramas implica el uso formal de las propiedades del diagrama, tales como los mapas injectivos o suprayectivos, o sucesiones exactas. Se construye un silogismo, para el cual se usa la representación gráfica del diagrama sólo como ayuda visual. De aquí se deduce que uno termina por "cazar" o "atrapar" elementos en torno al diagrama, hasta que el elemento o resultado deseado se verifica o se demuestra constructivamente.

Algunos ejemplos de demostración mediante cacería de diagramas son aquellas que usan el lema de los cinco, el lema de la serpiente, el lema zig-zag, y el lema de los nueve.

Un diagrama conmutativo en una categoría C puede ser interpretado como un functor de una categoría indexada J en C; uno llama a ese functor diagrama.

Más formalmente, un diagrama conmutativo es una visualización de un diagrama indexado por una categoría poset:

Al contrario, dado un diagrama conmutativo, éste define una categoría poset:

Sin embargo, no cada diagrama conmuta (la noción de diagrama estrictamente generaliza al diagrama conmutativo): más simplemente, el diagrama de un objeto simple con un endomorfismo (${displaystyle fcolon X o X}$), o con dos flechas paralelas (${displaystyle ullet ightrightarrows ullet }$; ${displaystyle f,gcolon X o Y}$), como el usado en la definición de ecualizador es necesario que no conmute. Además, los diagramas pueden ser un incómodos o imposibles de representar cuando el número de objetos y morfismos es grande (o incluso infinito).