Dual de Hodge

En matemáticas, el operador estrella de Hodge en el espacio vectorial V es un operador lineal en el álgebra exterior de V, intercambiando los subespacios de k-vectores y el de n−k-vectores donde n = dim V, para 0 ≤ k ≤ n.

Informalmente se define "repartiéndose la forma volumen" ω, pensada como n vectores estándar de base multiplicados exteriormente de modo que:

${displaystyle alpha wedge ;*;alpha =omega }$

Salvo signo, siempre que α es un producto exterior de algunos vectores estándar de base. Dada una medida sobre una variedad n dimensional expresable como una n-forma μ (no todas las medidas son de esta forma, por ejemplo, la "función" delta de Dirac), el dual de Hodge de la p-forma A se define como la contracción ${displaystyle langle {ar {mu }},mathbf {A} angle }$ donde ${displaystyle {ar {mu }}}$ es el n-vector dual. Ver convención de signo.

Formalmente en una variedad de riemanniana o pseudoriemanniana de dimensión n debemos definir el dual de Hodge de una p-forma ${displaystyle eta ,}$ como la (n-p)-forma ${displaystyle *eta ,}$ tal que:

${displaystyle forall alpha :alpha wedge *eta =langle alpha ,eta angle omega }$

con ${displaystyle langle alpha |eta angle }$ el producto escalar de las formas y

${displaystyle omega =varepsilon {sqrt {|g|}}dx^{1}land ...land dx^{n}}$

es la n-forma de volumen, siendo g el determinante del tensor métrico y ε = sgn(g). De aquí la relación:

${displaystyle ;**;alpha =(-1)^{k(n-k)}varepsilon alpha }$

en particular ε = 1 en una variedad de Riemann y ε=-1 en una variedad Lorentz-Minkowski ${displaystyle (n-1,1);}$.

Un ejemplo común del operador estrella es el espacio euclídeo tridimensional dotado de la métrica ordinaria. De hecho el producto vectorial no es otra cosa que el dual de Hodge del producto exterior de dos formas diferenciales construidas a partir de los vectores, formalmente el producto vectorial resulta ser:

${displaystyle {vec {a}} imes {vec {b}}=*(phi _{vec {a}}wedge phi _{vec {b}})}$

Para explicar esa construcción necesitamos introducir el isomorfismo entre vectores del espacio tridimensional y 1-formas del mismo espacio:

${displaystyle {vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})mapsto phi _{vec {a}}=a_{x}dx+a_{y}dy+a_{z}dz}$

Ahora conviene notar que en 3 dimensiones el dual de una 1-forma es una 2-forma antisimétrica, y el dual de una 2-forma es una 1-forma. Eso permite construir otro isomorfismo entre 1-formas y 2-formas, precisamente este isomorfismo es el dual de Hodge. Para aclarar como funciona ese isomorfismo vamos a interpretar las 2-formas como matrices antisimétricas de 3x3 del siguiente modo:

${displaystyle mathbf {F} =F_{ij}dx^{i}otimes dx^{j}mapsto {egin{bmatrix}0&+F_{12}&-F_{13}\-F_{21}&0&+F_{23}\+F_{31}&-F_{32}&0end{bmatrix}}}$

Podemos ver que esa matriz tiene solo tres componentes independientes que pueden ser interpretadas como un vector dado por el operador dual de Hodge:

${displaystyle mathbf {F} mapsto *mathbf {F} =F_{23}dx+F_{31}dy+F_{12}dz}$

Es decir, en espacio euclídeo tridimensional, hay una correspondencia entre los vectores y las matrices antisimétricas 3x3. Repasemos entonces los pasos:

Otra aplicación fundamental del operador dual de Hodge en física aparece en el espacio de Minkowski de la teoría de la relatividad especial. Dada la dimensión n = 4 del espacio de Minkoski y dada la métrica existe un isomorfismo fundamental entre:

Además resulta para toda 2-forma la siguiente relación fundamental:

Esa relación puede ser usada para formular muy escuetamente las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo, teniendo en cuenta que el campo electromagnético vienen dado por una 2-forma o tensor antisimétrico, que en componentes cartesianas es:

Las ecuaciones de Maxwell pueden ser escritas en términos de la 2-forma del campo electromagnético y operador dual de Hodge tan sencillamente como (sistema cgs):

Donde ${displaystyle mathbf {J} }$ es la 1-forma naturalmente asociada al cuadrivector densidad de corriente.