Ecuación KPZ

La ecuación KPZ (por las iniciales de sus creadores, Mehran Kardar, Giorgio Parisi y Vi-Cheng Zhang) es una ecuación diferencial estocástica en derivadas parciales y no lineal. Describe la variación temporal del grosor ${displaystyle phi ({vec {x}},t)}$ de una lámina. Es un buen modelo de crecimiento de superficies. Viene dada por la expresión:

${displaystyle {frac {partial phi ({vec {x}},t)}{partial t}}= u abla ^{2}phi +{frac {lambda }{2}}left[ abla phi ight]^{2}+eta ({vec {x}},t);}$

donde ${displaystyle eta ({vec {x}},t)}$ es un ruido gaussiano blanco cuyos primer y segundo momentos están dados por

${displaystyle langle eta ({vec {x}},t) angle =0qquad {mathtt {y}}qquad langle eta ({vec {x}},t)eta ({vec {x}}',t') angle =2Ddelta ^{d}({vec {x}}-{vec {x}}')delta (t-t'),,}$

y ${displaystyle u }$, ${displaystyle lambda }$ y ${displaystyle D}$ son parámetros del modelo; ${displaystyle d}$ es la dimensión de la lámina y es un concepto bastante importante en la resolución de la ecuación y afecta al tipo de solución. En concreto:

${displaystyle langle phi (x_{1},t)phi (x_{2},t) angle sim {frac {1}{r^{d-2}}}qquad {mathtt {y}}qquad langle phi (x,t_{1})phi (x,t_{2}) angle sim {frac {1}{t^{frac {d-2}{2}}}}}$