Ecuación de la desdoblada

En matemáticas, la ecuación de la desdoblada es la ecuación de la recta tangente a una circunferencia que pasa por uno de los puntos de dicha circunferencia.

Sea una circunferencia C de centro ${displaystyle O=(alpha ,eta )}$ y radio ${displaystyle r}$ de ecuación:

que también puede expresarse en la forma

donde ${displaystyle gamma =alpha ^{2}+eta ^{2}-r^{2}}$.

Sea ${displaystyle P(x_{P},y_{P})}$ un punto perteneciente a dicha circunferencia.

La ecuación de la recta tangente a la circunferencia que pasa por dicho punto será perpendicular al radio que pasa por P, y se puede demostrar que su ecuación es:^[1]​

${displaystyle y-y_{P}=m(x-x_{P})}$

El problema se reduce a encontrar la pendiente m tal que la recta resultante sea perpendicular al radio que pasa por P. Una vez obtenida la pendiente ${displaystyle m_{R}}$ de la recta ${displaystyle {overline {OR}}}$, la pendiente buscada será ${displaystyle m=-1/m_{R}}$.

Las coordenadas del centro O de la circunferencia son ${displaystyle (alpha ,eta )}$. Por tanto

${displaystyle m_{R}={frac {y_{P}-eta }{x_{P}-alpha }}}$, y ${displaystyle m=-{frac {x_{P}-alpha }{y_{P}-eta }}}$

luego

${displaystyle y-y_{P}=-{frac {x_{P}-alpha }{y_{P}-eta }}(x-x_{P})}$

reordenando términos:

${displaystyle (x_{P}-alpha )(x-x_{P})+(y-y_{P})(y_{P}-eta )=0}$

(1)${displaystyle (x_{P}-alpha )x+(y_{P}-eta )y=x_{P}^{2}+y_{P}^{2}-alpha x_{P}-eta y_{P}}$

dado que el punto P pertenece a la circunferencia, satisface su ecuación, luego ${displaystyle x_{P}^{2}+y_{P}^{2}-alpha x_{P}-eta y_{P}=alpha x_{P}+eta y_{P}-gamma }$

sustituyendo en (1)

(2)${displaystyle (x_{P}-alpha )x+(y_{P}-eta )y=alpha x_{P}+eta y_{P}-gamma }$

La circunferencia ${displaystyle x^{2}+y^{2}-4x+8y-33=0}$ pasa por el punto P = (4, 3). La ecuación de la recta tangente a dicha circunferencia que pasa por el punto dado P es: