Ecuación diferencial de Bernoulli

La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden mediante el cambio de variable ${displaystyle y^{1-alpha }=v}$, esta ecuación es de la forma

donde ${displaystyle P(x)}$ y ${displaystyle Q(x)}$ son funciones continuas en un intervalo abierto ${displaystyle (a,b)subseteq mathbb {R} }$ con ${displaystyle alpha in mathbb {R} }$.

Dividimos la ecuación diferencial entre ${displaystyle y^{alpha }}$ y obtenemos

o, equivalentemente

Definiendo ${displaystyle z=y^{1-alpha }}$ obtenemos las igualdades

o

Reemplazando en la ecuación diferencial

Ecuación que resulta ser una ecuación diferencial lineal cuya solución está dada por

donde ${displaystyle Cin mathbb {R} }$ es una constante arbitraria, como ${displaystyle z=y^{1-alpha }}$ entonces

Finalmente

Cuando ${displaystyle alpha =0}$ entonces la ecuación

se reduce a la ecuación lineal

cuya solución está dada por

Cuando ${displaystyle alpha =1}$ entonces la ecuación

se reduce a

que puede resolverse mediante variables separables, dicha solución está dada por

Para resolver la ecuación:

(*)${displaystyle qquad xy'+y=x^{4}y^{3}}$

Se hace el cambio de variable ${displaystyle z=y^{-2};}$, que introducido en (*) da simplemente:

(**)${displaystyle y^{2}={frac {1}{z}}Rightarrow 2yy'=-{frac {1}{z^{2}}}z'}$

Multiplicando la ecuación anterior por el factor: ${displaystyle {frac {2y}{x}};}$ se llega a:

${displaystyle qquad 2yy'+{frac {2}{x}}y^{2}=2x^{3}y^{4}}$

Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:

${displaystyle -{frac {z'}{z^{2}}}+{frac {2}{x}}{frac {1}{z}}={frac {2x^{3}}{z^{2}}}quad Rightarrow quad z'-{frac {2z}{x}}=-2x^{3}}$

Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:

${displaystyle e^{int P(x)dx}=e^{int -{frac {2}{x}}dx}=e^{-2ln(x)}={frac {1}{x^{2}}}}$

Y se resuelve ahora la ecuación:

${displaystyle left({frac {z}{x^{2}}} ight)'=-2x^{3}{frac {1}{x^{2}}}=-2xqquad {frac {z}{x^{2}}}=int {-2xdx}=-2int {xdx}=-2{frac {x^{2}}{2}}+C_{1}=-x^{2}+C_{1}}$

Deshaciendo ahora el cambio de variable:

${displaystyle {frac {z}{x^{2}}}=-x^{2}+C_{1}quad Rightarrow quad z=C_{1}x^{2}-x^{4}}$

Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue ${displaystyle z=y^{-2};}$:

${displaystyle {frac {1}{y(x)^{2}}}=C_{1}x^{2}-x^{4}quad Rightarrow quad y(x)={frac {pm 1}{sqrt {C_{1}x^{2}-x^{4}}}}}$

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