Ecuación podal

Para un curva plana C y un punto fijo dado O, la ecuación podal de la curva es una relación entre r y p, donde r es la distancia desde O a un punto en C y p es la distancia perpendicular desde O a la tangente a C en el punto considerado. El punto O se llama punto podal y los valores r y p se llaman coordenadas podales de un punto relativo a la curva y al punto podal. También es útil medir la distancia de O a la normal ${displaystyle p_{c}}$ (la coordenada contrapodal) aunque no es una cantidad independiente y se relaciona con ${displaystyle (r,p)}$ como ${displaystyle p_{c}:={sqrt {r^{2}-p^{2}}}}$.

Algunas curvas tienen ecuaciones podales particularmente simples, por lo que pueden simplificar el cálculo de algunas de sus propiedades, como la curvatura. Estas coordenadas también son adecuadas para resolver ciertos tipos de problemas de fuerza en mecánica clásica y mecánica celeste.

Para C dada en coordenadas cartesianas por f (x, y) = 0, y con O tomado como origen, las coordenadas podales del punto (x, y) están dadas por:^[1]​

La ecuación podal se puede encontrar eliminando x e y de estas ecuaciones y de la ecuación de la curva.

La expresión para p se puede simplificar si la ecuación de la curva se escribe en coordenadas homogéneas introduciendo una variable z, de modo que la ecuación de la curva sea g (x, y, z) = 0. El valor de p viene dado por^[2]​

donde el resultado se obtiene para z = 1

Para C dada en coordenadas polares por r = f(θ), entonces

donde ψ es el ángulo tangencial polar dado por

La ecuación podal se puede deducir eliminando θ de estas ecuaciones.^[3]​

Alternativamente, de lo anterior, se tiene que

donde ${displaystyle p_{c}:={sqrt {r^{2}-p^{2}}}}$ es la coordenada "contrapodal", es decir, la distancia a la normal. Esto implica que si una curva satisface una ecuación diferencial autónoma en coordenadas polares de la forma:

su ecuación de podal se convierte en

Como ejemplo, tómese la espiral logarítmica con el ángulo en espiral α:

Diferenciando con respecto a ${displaystyle heta }$ se obtiene

por lo tanto

y así en coordenadas podales resulta

o utilizando el hecho de que ${displaystyle p_{c}^{2}=r^{2}-p^{2}}$ se obtiene

Este enfoque puede generalizarse para incluir ecuaciones diferenciales autónomas de cualquier orden de la siguiente manera:^[4]​ Una curva C, solución de una n-ésima ecuación diferencial autónoma (${displaystyle ngeq 1}$) en coordenadas polares

es la podaria de una curva dada en coordenadas de podales por

donde la diferenciación se hace con respecto a ${displaystyle p}$.

Las soluciones a algunos problemas de fuerzas de la mecánica clásica se pueden obtener de manera sorprendentemente fácil en coordenadas de podales.

Considérese un sistema dinámico:

describiendo la evolución de una partícula de prueba (con posición ${displaystyle x}$ y velocidad ${displaystyle {dot {x}}}$) en el plano en presencia de una fuerza central ${displaystyle F}$ y potencial de Lorentz ${displaystyle G}$. Las cantidades:

se conservan en este sistema.

A continuación, la curva trazada por ${displaystyle x}$ se da en coordenadas podales por

con el punto podal en el origen. Este hecho fue descubierto por P. Blaschke en 2017.^[5]​

Como ejemplo, considérese el llamado problema de Kepler, es decir, el caso de una fuerza central, que varía inversamente con el cuadrado de la distancia:

Se puede llegar a la solución de inmediato en coordenadas podales

donde ${displaystyle L}$ corresponde al momento angular de la partícula y ${displaystyle c}$ a su energía. Por lo tanto, se ha obtenido la ecuación de una sección cónica en coordenadas podales.

Inversamente, para una curva dada C, se puede deducir fácilmente qué fuerzas hay que imponer sobre una partícula de prueba para moverse sobre ella.

Para una espiral sinusoidal descrita según la fórmula

el ángulo tangencial polar es

que produce la ecuación podal

La ecuación podal para un numerosas curvas conocidas se puede obtener dando a n valores específicos:^[6]​

Una curva espiral de la forma

satisface la ecuación

y así se puede convertir fácilmente en coordenadas podales como

Los casos especiales incluyen:

Para una epi o hipocicloide dada por ecuaciones paramétricas

la ecuación podal con respecto al origen es ^[7]​

o^[8]​

con

Los casos especiales que se obtienen al establecer b = ^a⁄_n para valores específicos de n incluyen:

Otras ecuaciones podales son:^[9]​

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