Entero de Eisenstein

En matemáticas, en especial en la teoría de números, un entero de Eisenstein, llamado así en honor de Ferdinand Eisenstein, es un número complejo de la forma

donde a y b son números enteros y

es una de las raíces cúbicas imaginarias de 1 .

Los enteros de Eisenstein forman un anillo conmutativo de enteros algebraicos en el cuerpo de los números algebraicos Q(√−3). También forman un dominio euclidiano.

Para ver que los enteros de Eisenstein son enteros algebraicos nótese que cada z = a + bω es un cero del polinomio cuadrático de coeficiente principal = 1

En particular, ω satisface la ecuación algebraica de coeficiente principal = 1; sus demás coeficientes son enteros racionales.

Si x e y son enteros de Eisenstein, diremos que x divide a y si existe algún entero de Eisenstein z tal que

Esto extiende la noción de divisibilidad para los enteros ordinarios, o sea los elementos del conjunto ℤ. Por lo tanto, podremos también extender la noción de primalidad; un entero de Eisenstein x será un primo de Eisenstein si sus únicos divisores son

—excepto porque no consideraremos ±1, ±ω o ±ω² en sí mismos como primos de Eisenstein — son unidades en el anillo de los enteros de Eisenstein, y cada uno tiene norma = 1.

Puede demostrarse que un primo de la forma ${displaystyle x^{2}-xy+y^{2}}$ puede ser factorizado en ${displaystyle (x+omega y)(x+omega ^{2}y)}$ y por lo tanto no es primo en el anillo de los enteros de Eisenstein. Nótese también que un número de la forma x² − xy + y² es primo si y solo si x + ωy es un primo de Eisenstein.

El anillo de los enteros de Eisenstein forma un dominio euclidiano cuya norma N es

Esto puede deducirse considerando los enteros de Eisenstein como números complejos: puesto que

y puesto que

se deduce que

La norma de un entero de Eisenstein se puede definir como:

Dados dos enteros de Essenstein c y d ≠ 0, existen dos enteros de Essenstein q y r tal que

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