Epicicloide

La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia (directriz). Es un tipo de ruleta cicloidal.

Considerando la figura podemos escribir:

(1)${displaystyle x=(r_{1}+r_{2})mathrm {sen} alpha -r_{2} mathrm {cos} gamma }$

(2)${displaystyle y=(r_{1}+r_{2})mathrm {cos} alpha +r_{2} mathrm {sen} gamma }$

con ${displaystyle gamma =alpha +eta -pi /2}$ y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, i.e: ${displaystyle r_{1} alpha =l_{1}=l_{2}=r_{2} eta }$. De aquí se tiene que ${displaystyle eta ={frac {r_{1}}{r_{2}}}alpha }$

Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] tenemos la ecuación paramétrica de la epicicloide: ${displaystyle x=(r_{1}+r_{2})mathrm {sen} alpha -r_{2} mathrm {sen} [alpha (1+{frac {r_{1}}{r_{2}}})]}$

${displaystyle y=(r_{1}+r_{2})mathrm {cos} alpha -r_{2} mathrm {cos} [alpha (1+{frac {r_{1}}{r_{2}}})]}$

Cuando ${displaystyle {frac {r_{1}}{r_{2}}}}$ es un número racional, i.e., ${displaystyle k={frac {r_{1}}{r_{2}}}={frac {p}{q}}}$, siendo p y q números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.

Cuando r₁=r₂, i.e, ${displaystyle k=1}$ obtenemos una cardioide.

Cuando r₁=2r₂, i.e, ${displaystyle k=2}$ obtenemos una nefroide.

k=1

k=2

k=3

k=4

k=2,1=21/10

k=3,8=19/5

k=5,5=11/2

k=7,2=36/5

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