Epimorfismo

En varios campos de las matemáticas, se llaman morfismos (u homomorfismos) a las aplicaciones entre estructuras matemáticas que preservan la estructura interna. Por ejemplo, en teoría de conjuntos, los morfismos son las funciones entre conjuntos; en álgebra lineal, las transformaciones lineales; y en topología, las funciones continuas.

En teoría de categorías, el morfismo es una noción más general; una categoría viene dada por dos tipos de datos: una clase de objetos y, para cada par de objetos X e Y, un conjunto de morfismos desde X a Y. Los morfismos son frecuentemente representados como flechas entre esos objetos. En el caso de una categoría concreta, X e Y son conjuntos de cierto tipo y un morfismo f es una función desde X a Y satisfaciendo alguna condición; este ejemplo origina la notación f: X → Y. Pero no toda categoría es concreta, por tanto estos no son los únicos tipos de morfismos.

Los morfismos forman parte de la definición de categoría. Dentro de una categoría, cada morfismo ${displaystyle f}$ tiene asociados dos objetos de la categoría, su dominio y su codominio, que se notan respectivamente por ${displaystyle operatorname {dom} f}$ y ${displaystyle operatorname {cod} f}$.^[1]​ Un morfismo ${displaystyle f}$ con ${displaystyle operatorname {dom} f=a}$ y ${displaystyle operatorname {cod} f=b}$ suele notarse como ${displaystyle fcolon a o b}$.

Los morfismos dentro de una categoría deben cumplir además los siguientes axiomas:

Un morfismo ${displaystyle fcolon a o b}$ se llama monomorfismo cuando es cancelable a derecha,^[2]​ es decir, cuando para cualesquiera ${displaystyle g,hcolon z o a}$ se cumple que ${displaystyle fcirc g=fcirc h;implies ;g=h}$. Dualmente, un morfismo ${displaystyle fcolon a o b}$ se llama epimorfismo cuando es cancelable a izquierda, es decir, cuando para cualesquiera ${displaystyle g,hcolon b o z}$ se cumple que ${displaystyle gcirc f=hcirc f;implies ;g=h}$.

A los morfismos que son monomorfismos y epimorfismos se les llama bimorfismos.

En el caso en el que existan dos morfismos ${displaystyle fcolon a o b}$ y ${displaystyle gcolon b o a}$ cumpliendo que ${displaystyle gcirc f=mathrm {id} _{a}}$, diremos que el morfismo ${displaystyle f}$ tiene una inversa a izquierda, o, equivalentemente, que es una sección; mientras que el morfismo ${displaystyle g}$ tiene una inversa a derecha, o, equivalentemente, que es una retracción.^[2]​

Nótese que toda sección debe ser un monomorfismo y que toda retracción debe ser un epimorfismo. Debido a esto, a las secciones se las llama también monomorfismos escindidos (split monomorphism) y a las retracciones se las llama epimorfismos escindidos (split epimorphism). Sin embargo, el converso no es cierto; existen categorías en las que no todos los monomorfismos y epimorfismos son escindidos.

Un morfismo ${displaystyle fcolon a o b}$ se llama isomorfismo cuando es invertible, es decir, cuando existe un morfismo ${displaystyle gcolon b o a}$ tal que ${displaystyle gcirc f=mathrm {id} _{a}}$ y ${displaystyle fcirc g=mathrm {id} _{b}}$.

Cuando un morfismo tiene inversa a izquierda y a derecha, puede demostrarse que ambas deben coincidir. En este caso, se la llama simplemente inversa. La inversa de un morfismo ${displaystyle f}$ es única y es a su vez un isomorfismo que tiene a ${displaystyle f}$ como inversa.^[2]​ Nótese que todo isomorfismo es en particular un bimorfismo, pero que no todo bimorfismo es un isomorfismo.

Dos objetos ${displaystyle a,b}$ con un isomorfismo ${displaystyle fcolon a o b}$ entre ellos se llaman isomorfos o equivalentes. La isomorfía es una relación de equivalencia y se nota como ${displaystyle acong b}$.

Los morfismos que tienen a un objeto ${displaystyle a}$ como dominio y codominio, ${displaystyle fcolon a o a}$, se llaman endomorfismos de ${displaystyle a}$. Un automorfismo es un endomorfismo que es además un isomorfismo.

Algunos ejemplos de morfismos son homomorfismos de las categorías estudiadas en álgebra universal (tales como los de grupos, anillos, etc), funciones continuas entre espacios topológicos, elementos de un monoide cuando es visto como categoría, caminos en un espacio topológico (lo que engendra a un grupoide), funtores entre categorías, y muchos otros.