Espacio de Schwartz

En matemáticas, un espacio de Schwartz es un espacio funcional de funciones de decrecimiento rápido. Este tipo de espacio tiene la propiedad interesante de que la transformada de Fourier es un automorfismo de este espacio. Esta propiedad permite, por dualidad, extender la definición de la transformada de Fourier a funciones generalizadas pertenecientes al espacio dual del espacio de Schwartz.

Este tipo de espacios se nombra así en honor a Laurent Schwartz. Una función del espacio de Schwartz se llama a veces función de Schwartz.

El espacio de Schwartz o espacio de funciones de decrecimiento rápido ${displaystyle {mathcal {S}}(mathbb {R} ^{n})}$ definido sobre el espacio euclídeo ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ es el conjunto de funciones:

${displaystyle {mathcal {S}}left(mathbb {R} ^{n} ight)={fin C^{infty }(mathbb {R} ^{n})mid forall ,alpha ,eta : |f|_{alpha ,eta }<infty },}$

Donde:

${displaystyle |f|_{alpha ,eta }:=|x^{alpha }D^{eta }f|_{infty }=sup _{mathbf {x} in mathbb {R} ^{n}}left|x_{i_{1}}^{alpha _{1}}ldots x_{i_{m}}^{alpha _{m}}{frac {partial ^{|eta |}f}{partial x_{j_{1}}^{eta _{1}}ldots x_{j_{k}}^{eta _{k}}}} ight|}$

Donde los números ${displaystyle alpha _{i},eta _{j}}$ son enteros positivos que satisfacen:

${displaystyle sum _{i=1}^{m}alpha _{i}=|alpha |,qquad sum _{j=1}^{k}eta _{j}=|eta |}$