Exponente Lyapunov

El Exponente Lyapunov o Exponente característico Lyapunov de un sistema dinámico es una cantidad que caracteriza el grado de separación de dos trayectorias infinitesimalmente cercanas. Cuantitativamente, dos trayectorias en el espacio-fase con separación inicial ${displaystyle delta mathbf {Z} _{0}}$ diverge

El radio de separación puede ser distinto para diferentes orientaciones del vector de separación inicial. Aunque, hay un completo espectro del exponente Lyapunov; el número de ellos es igual al número de dimensiones del espacio-fase. Es común referirse sólo a la más grande, porque determina la predictibilidad de un sistema.

Para un sistema dinámico que evoluciona según la ecuación ${displaystyle f^{t}}$ en un espacio de n–dimensiones, el espectro del exponente Lyapunov

en general depende del punto de inicio ${displaystyle x_{0}}$. El exponente Lyapunov describe el comportamiento de los vectores en el espacio tangente al espacio-fase y son definidos por la matriz Jacobiana:

La matriz ${displaystyle J^{t}}$ describe cómo un pequeño cambio en el punto ${displaystyle x_{0}}$ se propaga hasta el punto final ${displaystyle f^{t}(x_{0})}$. El límite

define a una matriz ${displaystyle L(x_{0})}$ (las condiciones para la existencia del límite son dadas por el teorema de Oseldec. Si ${displaystyle Lambda _{i}(x_{0})}$ son los valores propios de ${displaystyle L(x_{0})}$, entonces el exponente Lyapunov ${displaystyle lambda _{i}}$ está definido por

Generalmente, el cálculo de los exponentes Lyapunov, como se define arriba, no puede ser llevado a cabo analíticamente, y en la mayoría de los casos uno debe recurrir a técnicas numéricas. Los procedimientos numéricos comúnmente usados estiman la matriz ${displaystyle L}$ basándose en un rango finito de aproximaciones de tiempo del límite definiendo ${displaystyle L}$.