Fórmula de De Moivre

La fórmula de De Moivre, nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) ${displaystyle x}$ y para cualquier ${displaystyle nin mathbb {Z} }$ se verifica que

Esta fórmula conecta los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría.

La expresión ${displaystyle cos x+ioperatorname {sen} x}$ en ocasiones se abrevia como ${displaystyle operatorname {cis} x}$.

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible obtener expresiones muy útiles para ${displaystyle cos(nx)}$ y ${displaystyle operatorname {sen}(nx)}$ en términos de ${displaystyle cos x}$ y ${displaystyle operatorname {sen} x}$. Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la ${displaystyle n}$-ésima raíz de la unidad, eso es, números complejos ${displaystyle z}$ tal que ${displaystyle z^{n}=1}$.

La forma actual de la fórmula aparece en la obra Introductio in analysin infinitorum^[1]​ de Euler, que la demuestra^[2]​ para todos los enteros naturales ${displaystyle n}$ en 1748. Pero también aparece implícitamente en los trabajos de Abraham de Moivre varias veces desde 1707,^[3]​ en su trabajo sobre las raíces ${displaystyle n}$-ésimas de números complejos. De hecho, los dos problemas están relacionados: escribir que (cos x + i sin x)ⁿ = cos(nx) + i sin(nx) es equivalente a decir que cos x + i sin x es una de las raíces enésimas del complejo cos(nx) + i sin(nx).

La fórmula de Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:

aplicando leyes de la exponenciación

Entonces, por la fórmula de Euler,

Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler:

si hacemos ${displaystyle x=pi }$ entonces tenemos la identidad de Euler:

Es decir:

Además como tenemos estas dos igualdades:

podemos deducir lo siguiente:

Consideramos tres casos.

Para un entero ${displaystyle n>0}$, procedemos por inducción matemática. Cuando ${displaystyle n=1}$ el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo ${displaystyle k}$. Eso es que asumimos:

Ahora, considerando el caso ${displaystyle n=k+1}$:

Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.

Cuando ${displaystyle n=0}$ la fórmula es verdadera ya que ${displaystyle cos(0x)+ioperatorname {sen}(0x)=1+i0=1}$, y (por convención) ${displaystyle z^{0}=1}$.

Cuando ${displaystyle n<0}$, consideramos que existe un entero positivo ${displaystyle m}$ tal que ${displaystyle n=-m}$, por lo que

Por lo tanto el teorema es verdadero para todo ${displaystyle nin mathbb {Z} }$.

La fórmula en realidad es verdadera en un campo mucho más general que el presentado arriba: si z y w son números complejos, entonces

es una función multivaluada mientras

no lo sea. Por lo tanto se puede asegurar que:

Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.

Si el número complejo está en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar, siendo ${displaystyle r}$ el módulo.

Para obtener la potencia del número complejo se aplica la fórmula:

Para obtener las ${displaystyle n}$ raíces de un número complejo, se aplica:

donde ${displaystyle k}$ es un número entero que va desde ${displaystyle 0}$ hasta ${displaystyle n-1}$, que al sustituirlo en la fórmula permite obtener las ${displaystyle n}$ raíces diferentes de ${displaystyle z}$.