Fórmula de Faà di Bruno

La fórmula de Faà di Bruno es una identidad que generaliza la regla de la cadena a derivadas de orden superior, llamada así en honor al matemático italiano Francesco Faà di Bruno (1825-1888) , aunque él no fue el primero en afirmar o demostrar la fórmula. En 1800, más de 50 años antes de Faà di Bruno, el matemático francés Louis François Antoine Arbogast (1759-1803) declaró la fórmula en un libro de cálculo,^[1]​ considerada la primera referencia publicada al respecto sobre el tema.^[2]​

Quizás, la forma más conocida de la fórmula Faa di Bruno dice que:

${displaystyle {d^{n} over dx^{n}}f(g(x))=sum {frac {n!}{m_{1}!,1!^{m_{1}},m_{2}!,2!^{m_{2}},cdots ,m_{n}!,n!^{m_{n}}}}cdot f^{(m_{1}+cdots +m_{n})}(g(x))cdot prod _{j=1}^{n}left(g^{(j)}(x) ight)^{m_{j}}}$,

donde la suma es sobre todas las n-tuplas de enteros no negativos (m₁, …, m_n) que satisfacen la restricción:

${displaystyle 1cdot m_{1}+2cdot m_{2}+3cdot m_{3}+cdots +ncdot m_{n}=n.,}$.

A veces, para darle un patrón memorable, esta está escrita en una forma en la que los coeficientes que tienen la interpretación combinatoria que se discuten a continuación son menos explícitos:

${displaystyle {d^{n} over dx^{n}}f(g(x))=sum {frac {n!}{m_{1}!,m_{2}!,cdots ,m_{n}!}}cdot f^{(m_{1}+cdots +m_{n})}(g(x))cdot prod _{j=1}^{n}left({frac {g^{(j)}(x)}{j!}} ight)^{m_{j}}}$.

Combinando los términos con el mismo valor de m₁ + m₂ + ... + m_n = k y notando que m _j tiene que ser cero para j > n − k + 1 proporciona una fórmula algo más sencilla en términos de Polinomios de Bell B_n,k(x₁,...,x_n−k+1):

${displaystyle {d^{n} over dx^{n}}f(g(x))=sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))cdot B_{n,k}left(g'(x),g''(x),dots ,g^{(n-k+1)}(x) ight)}$.