Familia indexada

En matemáticas, una familia de conjuntos o una colección de conjuntos es un conjunto cuyos elementos son a su vez conjuntos. El nombre «familia» o «colección» se utiliza para enfatizar la naturaleza conjuntista de sus elementos y suele venir acompañado de una notación distinta.^[1]​

Una familia de conjuntos es un conjunto F cuyos elementos son conjuntos.

Esta nomenclatura es habitual en los contextos en los que se trabaja con un objeto matemático determinado y se desea distinguir los conjuntos de objetos de los conjuntos de conjuntos de objetos.

Una manera habitual de especificar una familia de conjuntos (y en general, una familia o conjunto de cualesquiera objetos matemáticos) es a través de un conjunto índice. El caso más sencillo es una familia infinita numerable, que puede denotarse {A₁, A₂, ...} o también {A_i}_{i ∈ N}. En este caso el conjunto índice es el conjunto de los números naturales. En general, una familia indexada de conjuntos es una familia de conjuntos en correspondencia biunívoca con algún conjunto índice:

Una familia indexada de conjuntos de conjunto índice I es una función con dominio I (donde I es no vacío) y cuyas imágenes son conjuntos.

Dicha familia puede denotarse entonces como {A_i}_{i ∈ I}. Nótese que en una familia indexada dos elementos pueden estar repetidos, esto es, puede ocurrir A_i = A_j con i ≠ j.^[2]​