Foliación

En matemáticas, una foliación es una partición en subvariedades diferenciables de otra variedad diferenciable (de tal modo que todas las subvariedades que conforman la foliación son de la misma dimensión m, siendo m menor que la dimensión de la variedad original).

Intuitivamente una foliación es como un conjunto de cortes o lonchas finas de la variedad original en piezas de la misma dimensión. Por ejemplo se puede foliar espacio euclídeo tridimensional considerando que se trata de un apilamiento de infinitos planos euclídeos uno encima de otro. Cuando una variedad admite una foliación entonces localmente tiene una estructura topológica de variedad producto.

Más formalmente, una foliación F de dimensión p o foliación p-dimensional de una variedad M es un recubrimiento topológico, formado por conjuntos U_i y equipado además con aplicaciones:

tal que en los solapes ${displaystyle U_{i}cap U_{j}}$ las funciones ${displaystyle varphi _{ij}:mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} ^{n}}$ definidas mediante:

tienen la forma:

Donde ${displaystyle x}$ denota las primeras ${displaystyle n-p}$ coordenadas, y ${displaystyle y}$ denota las últimas p coordenadas. Es decir,

y

Si ${displaystyle M o N}$ es una aplicación continua y exhaustiva entre variedades y ${displaystyle F,}$ es una foliación sobre ${displaystyle N,}$, entonces la aplicación anterior induce una foliación sobre ${displaystyle M,}$(pull-back de la aplicación anterior).

Existe una relación estrecha entre foliaciones e integrabilidad de conjuntos de n-formas. Dado un campo vectorial que no se anula nunca, definido sobre una variedad diferenciable ${displaystyle {mathcal {M}}}$ de dimensión n, sus curvas integrales forman una foliación 1-dimensional (es decir, una foliación de codimensión n-1).

El teorema de Frobenius, debido a Ferdinand Georg Frobenius, generaliza el resultado anterior estableciendo que las condiciones necesarias y suficientes para que una distribución (i. e. un subfibrado de dimensión n - p del fibrado tangente) sea tangene a las hojas de una foliación, son que el conjunto de campos vectoriales tangentes a la distribución sea cerrado bajo el paréntesis de Lie. Uno puede reformular esto de manera diferente, en términos de grupos. Si el grupo ${displaystyle GL(n)}$ definido sobre el fibrado tangente admite es reducible a un subgrupo entonces la distribución es integrable.

Una aplicación práctica del teorema de Frobenius anterior son las condiciones de integrabilidad en un sistema hamiltoniano para el que existe n integrales de movimiento. Si estas integrales están en involución (i. e. sus paréntesis de Poisson se anulan, o equivalentemente los paréntesis de Lie de sus campos vectoriales asociados comuntan) entonces el sistema es integrable, admitiendo n foliaciones cuya intersección es una foliación 1-dimensional que coincide con las trayectorias del movimiento.