Forma indeterminada

En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:

${displaystyle {frac {0}{0}}qquad {frac {infty }{infty }}qquad 0cdot infty qquad 1^{infty }qquad 0^{0}qquad infty ^{0}qquad +infty -infty }$

Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.

El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite

${displaystyle lim _{x o c}{frac {f(x)}{g(x)}}}$

Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.

Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x³, x/x, y x²/x se van a ${displaystyle scriptstyle infty }$, 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que, informalmente, 0/0 puede ser 0, ${displaystyle scriptstyle infty }$ o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada. Ejemplos:

Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ∞/∞. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.

Ejemplos:

La forma indeterminada 0 • ∞

En los casos en que el límite de una diferencia es ${displaystyle infty }$, no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ${displaystyle infty -infty }$. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.

Ejemplo: el siguiente límite^[1]​

y tomando logaritmos en ambos miembros resulta

La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital.