Forma multilineal

En matemáticas, dado un anillo conmutativo, una función multilineal es una función de ${displaystyle n}$ argumentos de ${displaystyle n}$ espacios vectoriales respectivos. Dicha función se caracteriza por respetar la suma de vectores y la multiplicación escalar en cualquiera de las coordenadas.

Sea ${displaystyle R}$ un anillo conmutativo (por ejemplo ${displaystyle R=}$ ${displaystyle mathbb {R} !}$ o ${displaystyle R=}$ ${displaystyle mathbb {C} !}$ ) y ${displaystyle V_{1},ldots V_{n},W}$ espacios vectoriales sobre ${displaystyle R}$.

Una función ${displaystyle V_{1} imes V_{2} imes cdots imes V_{n}{stackrel {f}{longrightarrow }}W}$ se dice multilineal si es lineal en cada argumento, es decir, para todo ${displaystyle 1leq ileq n}$ y para todo ${displaystyle rin R}$, se cumple
${displaystyle f(x_{1},ldots ,x_{i}+x_{i}',ldots ,x_{n})=f(x_{1},ldots ,x_{i},ldots ,x_{n})+f(x_{1},ldots ,x_{i}',ldots ,x_{n})}$,
y,
${displaystyle f(x_{1},ldots ,rcdot x_{i},ldots ,x_{n})=rcdot f(x_{1},ldots ,x_{i},ldots ,x_{n})}$.

Se puede demostrar que la colección de todas las funciones multilineales de ${displaystyle V_{1},ldots V_{n}}$ en ${displaystyle W}$ es un ${displaystyle R}$-espacio vectorial respecto a las operaciones usuales de suma y multiplicación escalar de funciones. Dicho espacio se denota por ${displaystyle {mathcal {M}}(V_{1},ldots ,V_{n};W)}$. Si ${displaystyle V_{1}=cdots =V_{n}=V}$ y ${displaystyle W=R}$, el espacio se denota por ${displaystyle {mathcal {M}}_{n}(V;R)}$.

Sea ${displaystyle V}$ un ${displaystyle R}$-espacio vectorial y ${displaystyle fin {mathcal {M}}_{n}(V;R)}$, es decir, ${displaystyle underbrace {V imes cdots imes V} _{n{mbox{-veces}}}{stackrel {f}{longrightarrow }}R}$. En álgebra abstracta a una función como ${displaystyle f}$ se le llama tensor y el conjunto de tensores de ${displaystyle n}$ argumentos sobre el espacio vectorial ${displaystyle V}$ se denota por ${displaystyle {mathcal {T}}_{n}(V)}$. En otras palabras, ${displaystyle {mathcal {T}}_{n}(V)={mathcal {M}}_{n}(V;R)}$.

Se puede demostrar que:

${displaystyle {mathcal {T}}_{n}(V):={mathcal {M}}_{n}(V;R)cong (underbrace {Votimes cdots otimes V} _{n{mbox{-veces}}})^{*}cong underbrace {V^{*}otimes cdots otimes V^{*}} _{n{mbox{-veces}}}}$

donde ${displaystyle V^{*}}$ denota el espacio dual, y ${displaystyle otimes }$ denota el producto tensorial.

Un tensor ${displaystyle fin {mathcal {T}}_{n}(V)}$ se dice simétrico si para cada permutación ${displaystyle pi }$ del grupo simétrico ${displaystyle S_{n}}$ y cualquier elemento ${displaystyle (v_{1},ldots ,v_{n})in V imes cdots imes V}$ se cumple ${displaystyle f(pi (v_{1}),ldots ,pi (v_{n}))=f(v_{1},ldots ,v_{n})}$. El ${displaystyle R}$-espacio vectorial de todos los tensores simétricos se denota por ${displaystyle {mathcal {S}}_{n}(V)}$ y obviamente, ${displaystyle {mathcal {S}}_{n}(V)subset {mathcal {T}}_{n}(V)}$.

Un tensor ${displaystyle fin {mathcal {T}}_{n}(V)}$ se dice antisimétrico si para cada permutación ${displaystyle pi }$ del grupo simétrico ${displaystyle S_{n}}$ y cualquier elemento ${displaystyle (v_{1},ldots ,v_{n})in V imes cdots imes V}$ se cumple ${displaystyle f(pi (v_{1}),ldots ,pi (v_{n}))=(-1)^{pi }f(v_{1},ldots ,v_{n})}$, donde ${displaystyle (-1)^{pi }}$ denota el signo de la permutación. El ${displaystyle R}$-espacio vectorial de todos los tensores antisimétricos se denota por ${displaystyle {mathcal {A}}_{n}(V)}$ y obviamente, ${displaystyle {mathcal {A}}_{n}(V)subset {mathcal {T}}_{n}(V)}$.

Un tensor ${displaystyle fin {mathcal {T}}_{n}(V)}$ se dice alternado si dado ${displaystyle (v_{1},ldots ,v_{n})in V imes cdots imes V}$ con la particularidad de que ${displaystyle v_{i}=v_{j}}$ para algún par de índices ${displaystyle i eq j}$, se tiene que ${displaystyle f(v_{1},ldots ,v_{n})=0}$. El ${displaystyle R}$-espacio vectorial de todos los tensores alternados se denota por ${displaystyle {{mathcal {A}}L}_{n}(V)}$ y ${displaystyle {{mathcal {A}}L}_{n}(V)subset {mathcal {A}}_{n}(V)subset {mathcal {T}}_{n}(V)}$. Además, cuando en el anillo conmutativo ${displaystyle R}$ el ${displaystyle 2}$ es invertible, entonces se tiene la igualdad ${displaystyle {{mathcal {A}}L}_{n}(V)={mathcal {A}}_{n}(V)}$.

Lezama, O., Cuadernos de Álgebra, No. 4: Álgebra Lineal, SAC²: Seminario de Álgebra Constructiva, Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá. https://web.archive.org/web/20130603160516/http://www.matematicas.unal.edu.co/sac2/