Forma normal de Hesse

La forma normal de Hesse normal, nombrada así por Otto Hesse, es una ecuación usada en geometría analítica y describe una recta en ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$, un plano en el Espacio euclídeo ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ o un hiperplano en dimensiones mayores.^[1]​^[2]​ Es usada principalmente para calcular distancias (ver distancia de un punto a un plano y distancia de un punto a una recta).

Se escribe como

El punto ${displaystyle cdot }$ indica el producto escalar o producto punto.

El vector ${displaystyle {vec {n}}_{0}}$ representa el vector normal unidad de E o g, que apunta desde el origen del sistema de coordenadas al plano (o línea, en 2D). La distancia ${displaystyle dgeq 0}$ es la distancia desde el origen hasta el plano (o recta).

Esta ecuación es satisfecha por todos los puntos P, ubicados precisamente en el plano E (o en 2D, en la recta g ), descrito por el vector de ubicación ${displaystyle {vec {r}}}$ que apunta desde el origen del sistema de coordenadas a P.

Nota: Por simplicidad, la siguiente derivación discute el caso 3D. Sin embargo, también es aplicable en 2D.

En la forma normal,

un plano está dado por el vector normal ${displaystyle {vec {n}}}$ así como un vector de posición arbitrario ${displaystyle {vec {a}}}$ de un punto ${displaystyle Ain E}$. La dirección de ${displaystyle {vec {n}}}$ se elige para satisfacer la siguiente desigualdad

Al dividir el vector normal ${displaystyle {vec {n}}}$ por su magnitud ${displaystyle |{vec {n}}|}$, obtenemos el vector normal unitario (o normalizado)

y la ecuación anterior se puede reescribir como

Substituyendo

obtenemos la forma normal de Hesse

En este diagrama, d es la distancia desde el origen. Debido a que ${displaystyle {vec {r}}cdot {vec {n}}_{0}=d}$ se cumple para cada punto del plano, también es cierto en el punto Q (el punto donde el vector del origen se encuentra con el plano E), con ${displaystyle {vec {r}}={vec {r}}_{s}}$, según la definición de producto escalar

La magnitud ${displaystyle |{vec {r}}_{s}|}$ de ${displaystyle {{vec {r}}_{s}}}$ es la menor distancia del origen al plano.