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Forma normal de Hesse



La forma normal de Hesse normal, nombrada así por Otto Hesse, es una ecuación usada en geometría analítica y describe una recta en , un plano en el Espacio euclídeo o un hiperplano en dimensiones mayores.[1][2]​ Es usada principalmente para calcular distancias (ver distancia de un punto a un plano y distancia de un punto a una recta).

Se escribe como

El punto indica el producto escalar o producto punto.

El vector representa el vector normal unidad de E o g, que apunta desde el origen del sistema de coordenadas al plano (o línea, en 2D). La distancia es la distancia desde el origen hasta el plano (o recta).

Esta ecuación es satisfecha por todos los puntos P, ubicados precisamente en el plano E (o en 2D, en la recta g ), descrito por el vector de ubicación que apunta desde el origen del sistema de coordenadas a P.


Nota: Por simplicidad, la siguiente derivación discute el caso 3D. Sin embargo, también es aplicable en 2D.

En la forma normal,

un plano está dado por el vector normal así como un vector de posición arbitrario de un punto . La dirección de se elige para satisfacer la siguiente desigualdad

Al dividir el vector normal por su magnitud , obtenemos el vector normal unitario (o normalizado)

y la ecuación anterior se puede reescribir como

Substituyendo

obtenemos la forma normal de Hesse

En este diagrama, d es la distancia desde el origen. Debido a que se cumple para cada punto del plano, también es cierto en el punto Q (el punto donde el vector del origen se encuentra con el plano E), con , según la definición de producto escalar

La magnitud de es la menor distancia del origen al plano.



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