Fuerza centrípeta

Se conoce como fuerza centrípeta a la fuerza o al componente de la fuerza que actúa sobre un objeto en movimiento sobre una trayectoria curvilínea y que está dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria.

El término «centrípeta» proviene de las palabras latinas centrum, «centro» y petere, «dirigirse hacia», y puede ser obtenida a partir de las leyes de Newton. En el caso de un objeto que se mueve en trayectoria circular con velocidad cambiante, la fuerza neta sobre el cuerpo puede ser descompuesta en un componente perpendicular que cambia la dirección del movimiento y uno tangencial, paralelo a la velocidad, que modifica el módulo de la velocidad.

La fuerza centrípeta no debe ser confundida con la fuerza centrífuga, tal como se explica en la sección Malentendidos comunes.

Los objetos con movimiento rectilíneo uniforme tienen una velocidad constante; pero un objeto que se mueva sobre una trayectoria circular con velocidad constante experimenta continuamente un cambio en la dirección de su movimiento, esto es, en la dirección de la velocidad. Puesto que la velocidad cambia, existe una aceleración. La magnitud de este cambio de dirección de la velocidad por unidad de tiempo es la aceleración centrípeta, representada por un vector dirigido hacia el centro de la circunferencia dado por:

Según la segunda ley de Newton, para que se produzca una aceleración debe actuar una fuerza en la dirección de esa aceleración. Así, si consideramos una partícula de masa ${displaystyle m,}$ en movimiento circular uniforme, estará sometida a una fuerza centrípeta dada por:

${displaystyle mathbf {F} =-{frac {mv^{2}}{r}}{hat {mathbf {u} }}_{r}=-momega ^{2}mathbf {r} }$

Supongamos que atamos una pelota con una cuerda y la hacemos girar en círculo a velocidad angular constante. La pelota se mueve en una trayectoria circular porque la cuerda ejerce sobre ella una fuerza centrípeta. Por tanto, esta fuerza siempre va actuar hacia el centro de la trayectoria.

En algunos textos docentes introductorios es frecuente encontrar cierta confusión entre los términos "fuerza centrípeta" y "fuerza centrífuga". La fuerza centrífuga es una fuerza ficticia que "aparece" para un observador que usa un marco de referencia en rotación para describir el movimiento. En cambio, un observador en un marco de referencia inercial no percibe ninguna fuerza centrífuga, mientras que sí ve una fuerza real llamada fuerza centrípeta que es la que obliga a un móvil a curvar su trayectoria en la dirección de dicha fuerza. El problema reside en que en un sistema de referencia en rotación la fuerza centrífuga (ficticia) intuida por un observador en reposo en dicho referencial coincide en magnitud –pero en sentido contrario– con la fuerza centrípeta (real) necesaria para mantener un cuerpo en reposo en tal sistema de referencia en rotación.

Tampoco la fuerza centrípeta debe confundirse con la denominada fuerza central. La fuerza central es una fuerza real que actúa sobre un cuerpo y que cumple con dos condiciones:

Ejemplos de fuerzas centrales son la fuerza gravitatoria y la fuerza electrostática. Frecuentemente, la fuerza centrípeta es una fuerza central. Una excepción ocurre cuando el centro de masas no coincide con el centro geométrico del objeto sobre el cual actúan las fuerzas, con lo que hay que poner especial énfasis sobre la dirección de la fuerza centrípeta y los puntos donde actúa. Un ejemplo claro de este fenómeno ocurre con la dinámica de un cilindro inhomogéneo que rueda sobre un plano inclinado hasta despegarse del mismo.^[1]​

Puesto que la velocidad es siempre tangente a la trayectoria, el vector ${displaystyle mathbf {v} }$ siempre es perpendicular al vector de posición. Como el extremo del vector ${displaystyle mathbf {R} }$ se mueve describiendo una circunferencia de radio ${displaystyle R,}$, el extremo del vector ${displaystyle mathbf {v} }$ lo hace de modo análogo. La circunferencia a la derecha muestra la forma en que cambia la velocidad con el tiempo. Dicha circunferencia representa la hodógrafa del movimiento.

El cambio de la trayectoria (un aumento de esta) a una velocidad "x" en el mismo tiempo es la aceleración, y dado que la velocidad cambia de manera similar a como lo hace el vector de posición, la aceleración en cada instante también es perpendicular a la velocidad en ese instante, por lo que podemos dibujarlas como vectores ${displaystyle mathbf {a} }$ tangentes a la circunferencia.

Ya que los vectores de posición y velocidad giran conjuntamente, el período T (tiempo empleado en una vuelta completa) será el mismo en ambos casos.

Para el periodo de la partícula en la trayectoria circular tenemos

y, por analogía, con la hodógrafa de la derecha tenemos

Igualando ambas ecuaciones, y despejando ${displaystyle a}$ obtenemos.

Comparando la trayectoria (izquierda) con su hodógrafa (derecha), se deduce que la aceleración apunta hacia el centro de la circunferencia, en forma opuesta al vector ${displaystyle mathbf {R} ,}$. Esto lo podemos hacer regresando cada uno de los vectores ${displaystyle mathbf {v} }$ a su posición original en el círculo de la izquierda. Si junto con ellos nos llevamos los vectores ${displaystyle mathbf {a} }$, se podrá notar el hecho de que estos últimos efectivamente apuntan hacia el centro.

Otro método para deducir la ecuación de la aceleración centrípeta consiste en expresar la ecuación de la trayectoria circular en ecuaciones paramétricas:

${displaystyle mathbf {r} ={egin{cases}x=Rcos heta =Rcos omega t\y=Rsin heta =Rsin omega t\end{cases}}}$

donde

y derivar dos veces sucesivas con respecto del tiempo

${displaystyle mathbf {v} ={egin{cases}{dot {x}}=-omega Rsin omega t\{dot {y}}=omega Rcos omega t\end{cases}}}$

${displaystyle mathbf {a} ={egin{cases}{ddot {x}}=-omega ^{2}Rcos omega t\{ddot {y}}=-omega ^{2}Rsin omega t\end{cases}}}$

de modo que

${displaystyle mathbf {a} =-omega ^{2}mathbf {r} }$

que pone de manifiesto que la aceleración está dirigida hacia el centro de la trayectoria circular y que su módulo viene dado por:

${displaystyle a=omega ^{2}R={frac {v^{2}}{R}}}$

En mecánica relativista el cociente entre la fuerza centrípeta y la aceleración centrípeta, es diferente del cociente entre la fuerza tangencial y la aceleración tangencial. Esto introduce una diferencia fundamental con el caso newtoniano: la aceleración y la fuerza relativistas no son vectores necesariamente paralelos:

${displaystyle mathbf {F} ={frac {d}{dt}}left({frac {mmathbf {v} }{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} ight)={frac {mmathbf {v} }{left[1-{frac {v^{2}}{c^{2}}} ight]^{3/2}}}left({frac {mathbf {v} }{c^{2}}}cdot mathbf {a} ight)+{frac {mmathbf {a} }{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

De la relación anterior, se deduce que la fuerza y la aceleración sólo son paralelas en dos casos:

${displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {v} =0,qquad mathbf {a} cdot mathbf {v} =|mathbf {a} ||mathbf {v} |}$

El primer caso se da cuando la aceleración y la velocidad son perpendiculares, cosa que sucede por ejemplo el movimiento circular uniforme. El segundo caso se da en un movimiento rectilíneo. En cualquier otro tipo de movimiento en general la fuerza y la aceleración no serán permanentemente paralelas.