Función contador de números primos

En matemática, la función contador de números primos es una función que cuenta el número de números primos menores o iguales a cierto número real x. Se denota mediante ${displaystyle scriptstyle pi (x)}$ (no debe confundirse con el número π) y analíticamente se define como:

${displaystyle pi (x)=#{pin mathbb {P} mid pleq x}}$

donde # significa la cantidad de números que cumplen la condición. Algunos valores son:

Una de las consecuencias más importantes de la teoría de números es que el valor de π(x) se aproxima al de x/ln x cuando x tiende al infinito. Es decir:

${displaystyle pi (x)sim {frac {x}{ln x}}}$

Esto no significa que la diferencia entre π(x) y x/ln x se aproxime a cero, sino que su cociente se aproxima a 1. Este resultado, aventurado por primera vez por Carl Friedrich Gauss, se denomina teorema de los números primos. Tras muchos intentos fallidos de demostración, los matemáticos Jacques Hadamard y Charles de la Vallée-Poussin consiguieron, de forma independiente, una demostración definitiva.

Si se expresa la relación anterior como

${displaystyle {frac {pi (x)}{x}}sim {frac {1}{ln x}}}$

se puede interpretar como que la densidad media de números primos entre los números enteros se aproxima a 1/lnx a medida que x aumenta.

25 años después de que Gauss descubriera la aproximación, Legendre lo mejoró aún más:

${displaystyle pi (x)sim {frac {x}{ln x-1.08366}}}$

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