Función de Kummer

En matemáticas, hay varias funciones conocidas como función de Kummer. Una se conoce como la función hipergeométrica confluente de Kummer. Otra de ellas, la definida más abajo, se relaciona con los polilogaritmos. Ambas tomaron su nombre en honor del matemático alemán Ernst Kummer (1810-1893).

La función de Kummer se define por:

${displaystyle Lambda _{n}(z)=int _{0}^{z}{frac {log ^{n-1}|t|}{1+t}};dt.}$

La fórmula de duplicación es:

${displaystyle Lambda _{n}(z)+Lambda _{n}(-z)=2^{1-n}Lambda _{n}(-z^{2}),}$.

Comparando esta con la fórmula de duplicación de los polilogaritmos:

${displaystyle operatorname {Li} _{n}(z)+operatorname {Li} _{n}(-z)=2^{1-n}operatorname {Li} _{n}(z^{2}).}$.

Un enlace explícito con los polilogaritmos viene dado por:

${displaystyle operatorname {Li} _{n}(z)=operatorname {Li} _{n}(1);;+;;sum _{k=1}^{n-1}(-)^{k-1};{frac {log ^{k}|z|}{k!}};operatorname {Li} _{n-k}(z);;+;;{frac {(-)^{n-1}}{(n-1)!}};left[Lambda _{n}(-1)-Lambda _{n}(-z) ight].}$