Función diferenciable

El concepto de función diferenciable es una generalización para el cálculo en varias variables del concepto más simple de función derivable. En esencia una función diferenciable admite derivadas en cualquier dirección y puede aproximarse al menos hasta primer orden por una aplicación afín.

La formulación rigurosa de esta idea intuitiva sin embargo es algo más complicada y requiere de conocimientos de álgebra lineal. Debe notarse que aunque una función de varias variables admita derivadas parciales según cada una de sus variables no necesariamente eso implica que sea una función diferenciable.

Una función de múltiples variables ${displaystyle f:Omega subset mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} ^{m}}$ se dirá diferenciable en ${displaystyle x_{0}in mathbb {R} ^{n}}$ si, siendo ${displaystyle Omega }$ un conjunto abierto en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, existe una transformación lineal ${displaystyle T,}$ que cumpla:

${displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+T(h)+ heta (h);}$

Donde ${displaystyle heta (h)}$ cumple que:

${displaystyle lim _{h o 0}{frac {lVert heta (h) Vert }{lVert h Vert }}=0}$

Es decir, ${displaystyle heta (h)}$ es de orden más pequeño que ${displaystyle h,}$ cuando ${displaystyle h,}$ tiende a 0. Necesariamente la transformación lineal ${displaystyle T;}$ es la única cosa que se ve más claramente si adoptamos como definición de función derivable aquella para la cual se cumple que exista una aplicación lineal tal que:

${displaystyle lim _{h o 0}{frac {|f(x_{0}+h)-f(x_{0})-T(h)|}{|h|}}=0}$

De manera informal, si pensamos en la gráfica de una función de dos variables f(x,y) como una "sábana", diremos que f es diferenciable si la "sábana" no tiene puntos donde está "quebrada". Sin embargo esta ilustración sirve para una función diferenciable en su dominio. La función puede ser diferenciable en un punto (a,b) y no asemejarse en nada a una sábana en ese punto.

Una función real de una variable que admite derivada en todos sus puntos y tal que dicha derivada sea continua es trivialmente una función diferenciable. Por esa razón para funciones reales de una variable el concepto de función derivable y función diferenciable son básicamente equivalentes.

Sin embargo, para funciones de más de una variable la situación es más complicada. Ya que la existencia de derivadas no comporta que una función sea automáticamente diferenciable.

f es diferenciable en ${displaystyle mathbb {R^{2}} }$ por ser una función con derivadas parciales continuas en ${displaystyle mathbb {R^{2}} }$ (condición suficiente para la diferenciabilidad).

${displaystyle f(x,y)=e^{x+y};}$

La función g(x,y) es continua en (0,0) y admite derivadas direccionales en (0,0) para toda dirección. Sin embargo, no es diferenciable en (0,0):

${displaystyle g(x,y)=left{{egin{array}{lcc}{frac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}&si&(x,y) eq (0,0)\\0&si&(x,y)=(0,0)\end{array}} ight.}$

La función ${displaystyle h(x,y);}$no es diferenciable en (0,0) puesto que no es continua en ese punto:

${displaystyle h(x,y)=left{{egin{array}{lcc}{frac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}&si&(x,y) eq (0,0)\\1&si&(x,y)=(0,0)\end{array}} ight.}$

Una aplicación vectorial entre varias variables de la forma ${displaystyle f:mathbb {R} ^{m} o mathbb {R} ^{n}}$ se dice diferenciable en un punto ${displaystyle x_{0}}$ si puede encontrarse una matriz ${displaystyle mathbf {M} }$, llamada matriz jacobiana, que representa una aplicación lineal ${displaystyle L_{f}:mathbb {R} ^{m} o mathbb {R} ^{n}}$ tal que:

${displaystyle lim _{varepsilon o 0}{frac {|f(x_{0}+varepsilon mathbf {h} )-f(x_{0})-mathbf {M} mathbf {h} |}{varepsilon }}=0}$

O de forma equivalente:

${displaystyle lim _{x o x_{0}}{frac {|f(x)-f(x_{0})-(x-x_{0})mathbf {M} |}{|x-x_{0}|}}=0}$

donde ${displaystyle x_{0}}$ es un punto de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$,es decir ${displaystyle (x-x_{0})=(x_{1}-x_{01},x_{2}-x_{02},...,x_{m}-x_{0m})}$ y ${displaystyle mathbf {M} }$, la transformación lineal, que viene dada por la matriz jacobiana de ${displaystyle f}$ en el punto ${displaystyle x_{0}in mathbb {R} ^{m}}$

En esas condiciones se puede ver la función ${displaystyle mathbf {f} (x_{1},dots ,x_{m})=(f_{1}(x_{1},dots ,x_{m}),dots ,f_{n}(x_{1},dots ,x_{m}))}$ admite derivadas parciales de todas las variables y además resulta:

${displaystyle mathbf {M} ={egin{pmatrix}{cfrac {partial f_{1}}{partial x_{1}}}&dots &{cfrac {partial f_{1}}{partial x_{m}}}\vdots &ddots &vdots \{cfrac {partial f_{n}}{partial x_{1}}}&dots &{cfrac {partial f_{n}}{partial x_{m}}}end{pmatrix}}}$