Función entera

Las funciones holomorfas son el principal objeto de estudio del análisis complejo; son funciones que se definen sobre un subconjunto del plano complejo ${displaystyle mathbb {C} }$ y con valores en ${displaystyle mathbb {C} }$, que son complejo-diferenciables en algún entorno de un punto de su dominio. En este caso se dice que la función es holomorfa en ese punto.^[1]​ Si la función es holomorfa en cada punto de su dominio, se dice que es holomorfa en su dominio. Esta condición es mucho más fuerte que la diferenciabilidad en caso real e implica que la función es infinitamente diferenciable y que puede ser descrita mediante su serie de Taylor.

El término función analítica se usa a menudo en vez del de "función holomorfa", especialmente para cuando se trata de la restricción a los números reales de una función holomorfa. Una función que sea holomorfa sobre todo el plano complejo se dice función entera. La frase "holomorfa en un punto a" significa no solo diferenciable en a, sino diferenciable en todo un disco abierto centrado en a, en el plano complejo.

La definición/función es la siguiente:

Este límite se toma aquí sobre todas las sucesiones de números complejos que se aproximen a z₀, y para todas esas sucesiones el cociente de diferencias tiene que dar el mismo número f '(z₀).

Intuitivamente, si f es complejo-diferenciable en z₀ y nos aproximamos al punto z₀ desde la dirección r, entonces las imágenes se acercarán al punto f(z₀) desde la dirección f '(z₀) r, donde el último producto es la multiplicación de números complejos. Este concepto de diferenciabilidad comparte varias propiedades con la diferenciabilidad en caso real: es lineal y obedece a las reglas de derivación del producto, del cociente y de la cadena.

Si f es complejo-diferenciable y las derivadas son continuas en cada punto z₀ en U, se dice que f es holomorfa en U. Es claro que, al igual que en el caso real, si f es holomorfa e inyectiva en U —con inversa continua— entonces ${displaystyle f^{-1}}$ es holomorfa y su derivada vale:

Todas las funciones polinómicas en z con coeficientes complejos son holomorfas sobre C, y también lo son las funciones trigonométricas de z y la función exponencial. (Las funciones trigonométricas están de hecho relacionadas estrechamente con esta última y pueden definirse a partir de ella usando la fórmula de Euler). La rama principal de la función logaritmo es holomorfa sobre el conjunto C - {z ∈ R : z ≤ 0}. La función raíz cuadrada se puede definir como : ${displaystyle {sqrt {z}}=e^{{frac {1}{2}}ln z}}$ y es por tanto allá donde lo sea la función logaritmo ln(z). La función 1/z es holomorfa sobre {z : z ≠ 0}. Las funciones trigonométricas inversas tienen cortes y son holomorfas en todos los puntos excepto en estos cortes.

Ya que la diferenciación compleja es lineal y cumple las reglas del producto, del cociente y de la cadena, se tendrá que las sumas, productos, composiciones son también holomorfas, y el cociente de dos funciones holomorfas lo será allá donde el denominador sea distinto de cero.

Cada función holomorfa es infinitamente diferenciable en cada punto, y coincide con su propia serie de Taylor; esta serie convergerá sobre cada disco abierto que se encuentre dentro del dominio U. La serie de Taylor puede converger en un disco más grande; por ejemplo, la serie de Taylor para el logaritmo converge sobre cada disco que no contenga al 0, incluso en las cercanías de la línea real negativa. Ver demostración de que las funciones holomorfas son analíticas.

Si se identifica C con R², entonces las funciones holomorfas son las mismas que aquellas funciones de dos variables reales diferenciables y que cumplan las ecuaciones de Cauchy-Riemann, que son un par de ecuaciones diferenciales parciales.

Las funciones holomorfas son conformes cerca de los puntos con derivada distinta de cero, en el sentido de que preservan ángulos y la forma (pero no el tamaño) de las figuras pequeñas.

La fórmula integral de Cauchy dice que los valores, dentro de un disco, de una función holomorfa, quedan determinados por los valores de la función en la frontera del disco.