Función inversa

En matemáticas, especialmente en análisis matemático, si f es una función que asigna elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la función f ^-1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f ^-1 es la función inversa de f.

Sea ${displaystyle f}$ una función real biyectiva cuyo responsable o dominio sea el conjunto ${displaystyle I}$ y cuya imagen sea el conjunto ${displaystyle J}$. Entonces, la función inversa de ${displaystyle f}$, denotada ${displaystyle f^{-1}}$, es la función de dominio ${displaystyle J}$ y codominio ${displaystyle I}$ definida por la siguiente regla:

Destaquemos que ${displaystyle f^{-1}}$, al igual que ${displaystyle f}$, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por ${displaystyle f}$ y que cumple:

De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.

Dadas dos aplicaciones y las propiedades:

entonces:

Este último punto se usa como definición de función inversa.

La notación tradicional ${displaystyle f^{-1}}$ puede ser confusa, ya que puede dar a entender ${displaystyle {frac {1}{f}}}$ . Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:

Otra notación menos usada es utilizar solo el signo menos en vez del número ${displaystyle -1}$:

${displaystyle {egin{cases}f:mathbb {R} ^{+} o mathbb {R} ^{+}\xmapsto x^{2}end{cases}}qquad {egin{cases}g:mathbb {R} ^{+} o mathbb {R} ^{+}\xmapsto {sqrt {x}}end{cases}}qquad fcirc g(x)=gcirc f(x)=x}$

Se generaliza el concepto de función a otros conjuntos de números, en particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la exponencial siguen siendo funciones inversas.

${displaystyle {egin{cases}f:mathbb {R} o [-1,1]\xmapsto {cfrac {1}{2pi }}left[ln left({cfrac {x^{2}+x{sqrt {2}}+1}{x^{2}-x{sqrt {2}}+1}} ight)+2arctan(x{sqrt {2}}+1)+2arctan(x{sqrt {2}}-1) ight]=sum _{k=0}^{infty }{cfrac {(-1)^{k}x^{k}}{4k+1}}end{cases}}}$

Aunque la función inversa se puede aproximar mediante desarrollo en serie de Taylor:

${displaystyle f^{-1}(x)approx x+{frac {x^{5}}{5}}+dots }$