En matemáticas, especialmente en análisis matemático, si f es una función que asigna elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la función f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la función inversa de f.
Sea una función real biyectiva cuyo responsable o dominio sea el conjunto y cuya imagen sea el conjunto . Entonces, la función inversa de , denotada , es la función de dominio y codominio definida por la siguiente regla:
Destaquemos que , al igual que , es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por y que cumple:
De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.
Dadas dos aplicaciones y las propiedades:
entonces:
Este último punto se usa como definición de función inversa.
La notación tradicional puede ser confusa, ya que puede dar a entender . Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:
Otra notación menos usada es utilizar solo el signo menos en vez del número :
Se generaliza el concepto de función a otros conjuntos de números, en particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la exponencial siguen siendo funciones inversas.
Aunque la función inversa se puede aproximar mediante desarrollo en serie de Taylor:
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