Función inyectiva

En matemáticas, una función:

es inyectiva, uno a uno, si a elementos distintos del conjunto ${displaystyle X}$ (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto ${displaystyle Y}$ (codominio) de ${displaystyle f}$, es decir, cada elemento del conjunto ${displaystyle Y}$ tiene a lo sumo una preimagen en ${displaystyle X}$, o, lo que es lo mismo, en el conjunto ${displaystyle X}$ no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Por ejemplo, la función

no es inyectiva pues el valor 4 puede obtenerse como ${displaystyle f(2)}$ y ${displaystyle f(-2)}$ pero si el dominio se restringe a los números reales positivos (obteniendo así una nueva función ${displaystyle g:mathbb {R} ^{+} o mathbb {R} ^{+}}$) entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Sea ${displaystyle f}$ una función cuyo dominio es el conjunto ${displaystyle X}$, se dice que la función ${displaystyle f}$ es inyectiva si para todo ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ en ${displaystyle X}$, si ${displaystyle f(a)=f(b)}$ entonces ${displaystyle a=b}$, esto es ${displaystyle f(a)=f(b)}$ implica ${displaystyle a=b}$. Equivalentemente, si ${displaystyle a eq b}$ entonces ${displaystyle f(a) eq f(b)}$. Simbólicamente,

que es equivalente a su contrarrecíproco

Para probar que una función no es inyectiva, basta con hallar dos valores distintos del dominio, cuyas imágenes en el codominio son iguales.

Si ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Y}$ son subconjuntos de ${displaystyle mathbb {R} }$, geométricamente, una función ${displaystyle f:X o Y}$ es inyectiva si su gráfica nunca es intersectada por una recta horizontal más de una vez. Este principio es conocido como la prueba de la línea horizontal.^[1]​

Dados dos conjuntos ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$, entre los cuales existe una función inyectiva ${displaystyle f:A o B}$ tienen cardinales que cumplen:

${displaystyle {mbox{card}}(A)leq {mbox{card}}(B)}$

Si además existe otra aplicación inyectiva ${displaystyle g:B o A}$, entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.

Dada una función ${displaystyle mathbf {f} :Omega subset mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} ^{n}}$ diferenciable con continuidad sobre un dominio del espacio euclídeo n-dimensional, pueden establecerse condiciones necesarias y suficientes para decidir cuándo esta función es inyectiva. El teorema de la función inversa da una condición no suficiente para que una función diferenciable sea localmente inyectiva:

${displaystyle det Dmathbf {f} eq 0}$

donde:

Esta condición no es condición suficiente para garantizar la inyectividad de la función (de hecho tampoco es condición necesaria). Para encontrar condiciones suficientes se define el vector desplazamiento asociado a la función como el siguiente campo vectorial:

${displaystyle mathbf {u} (mathbf {x} )=mathbf {f} (mathbf {x} )-mathbf {x} in mathbb {R} ^{n}}$

Esta función se interpreta como la diferencia entre la posición inicial de un punto y la posición final de su imagen. Puede demostrarse que existe una constante ${displaystyle scriptstyle c(Omega )}$ si se cumple:

${displaystyle max _{mathbf {x} in {ar {Omega }}}|Dmathbf {u} (mathbf {x} )|=sup _{mathbf {x} in Omega }|Dmathbf {u} (mathbf {x} )|<c(Omega )leq 1}$

Donde:

Entonces la función es [globalmente] inyectiva, puede demostrarse que ${displaystyle scriptstyle c(Omega )=1}$ si el dominio ${displaystyle scriptstyle Omega }$ es convexo, mientras que un dominio no convexo requiere ${displaystyle c(Omega )<1}$.