Función multiplicativa

En la teoría de los números, conocida también como aritmética, una función aritmética, denotada f(m), (esto es, aquella definida para m entero) se denomina multiplicativa si f(1) = 1 y además cumple que f(m·n) = f(m)·f(n) cuando m y n son números enteros coprimos (no tienen factores comunes). En una función multiplicativa la imagen del producto es igual al producto de las imágenes. De esta manera, una función multiplicativa resulta determinada siempre que se conozca el valor que asume para las potencias de los números primos.

La función ${displaystyle phi }$ de Euler se llama función multiplicativa, puesto que ${displaystyle (c,d)=1Rightarrow phi (cd)=phi (c)cdot phi (d)}$. Existen varias funciones en la teoría de los números que poseen esta propiedad. ^[1]​

Entre las funciones multiplicativas están las funciones completamente multiplicativas que son las que también cumplen que f(m·n) = f(m)·f(n) cuando m y n no son coprimos entre sí.

Utilizando las funciones multiplicativas como coeficientes de desarrollo de series de Dirichlet se obtienen funciones complejas, cuyo estudio aporta información relevante acerca de la distribución de los números. Un ejemplo de ello son las relaciones de las funciones aritméticas más clásicas con la función zeta de Riemann.

Algunos ejemplos de funciones multiplicativas que son relevantes en la teoría de números son:

si ${displaystyle f(n)}$es una función multiplicativa y

${displaystyle F(n)=sum _{d|n}f(d),}$

entonces ${displaystyle F(n)}$ es una función multiplicativa.^[2]​

${displaystyle sum _{d|n}phi (d)=n}$

, donde ${displaystyle phi (k)}$ es la función ${displaystyle phi }$ de Euler.